Charlesgao数学博客

Dec-19-2011

Gibbs现象和Runge现象(上)

Posted by Charlesgao ---> 数值方法(Numeric), 数学分析(Analysis)

设 $\mathbb{T}=\mathbb{R}/2\pi\mathbb{Z}$ ，则 $\{e^{inx}\}/\sqrt{2\pi}, n = 0, \pm 1, \pm2, \ldots$ 是 $L^2(\mathbb{T})$ 下的一组标准正交基。所以 $L^2(\mathbb{T})$ 中的所有函数都能够由这个基在 $L^2$ 意义下逼近。这个基一般被称作傅立叶基。对于一个函数 $f \in L^2(\mathbb{T})$ ,

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\hat{f}(n)e^{inx}$

称为 $f$ 的傅立叶级数。其中 $\hat{f}(n)=\langle f(x), \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{inx}\rangle$ 为 $f$ 的傅立叶系数。

类似在 $L^2([0,1])$ 上， $\{x^n/\sqrt{n+1}\}, n =0,1,\ldots$ 是 $L^2([0,1])$ 的一组标准正交基。所以 $L^2([0,1])$ 中的所有函数都能够由这个基在 $L^2$ 意义下逼近。这个基一般被称作多项式基。对于一个函数 $g \in L^2([0,1])$ ,

$g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n+1}}\hat{g}(n)x^{n}$

称为 $g$ 的多项式级数(幂级数)。其中 $\hat{g}(n)=\langle g(x), \frac{1}{\sqrt{n+1}}x^{n}\rangle$ 为 $g$ 的多项式系数。

在第一个例子中，我们取 $2\pi$ 为周期是为了基函数的形式简洁，它可以推广到任何有限周期上。考虑一个定义在 $L^2([a,b])$ 上的函数，我们可以将它进行延拓，使其成为 $L^2(\mathbb{R}/(b-a)\mathbb{Z})$ 上的函数。同样的，第二个例子中的 $[0,1]$ 也不具特殊性。任何 $L^2[a,b]$ 上的函数的多项式级数也都存在。所以，闭区间上的 $L^2$ 函数可以由这两组基(傅立叶基、多项式基)在 $L^2$ 意义下逼近。

在实际应用中，由于这两组基具有很好的性质(比如无穷次可微)，我们常常用它们来近似一个给定的函数。近似的意思就是用傅立叶级数或幂级数的有限和来近似。在这个过程中人们发现了两个很有意思的现象——Gibbs现象和Range现象。阅读全文 »

Tags: Gibbs现象, Runge现象, 函数, 逼近

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Feb-26-2011

英语阅读差的罪魁祸首——数学没学好

Posted by Charlesgao ---> 娱乐数学(Recreation), 数学分析(Analysis)

下面一段英文摘自Wilfrid Hodges的Logic，它表达了什么意思？

For every person and every age, and every positive number, there is a second positive number such that at any age which differs from the first-mentioned age by fewer days than the latter positive number, the person’s height differs from his height at the first-mentioned age by less than the former positive number of inches.

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Tags: 函数, 幽默, 翻译, 趣味, 连续

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Feb-18-2011

一个特殊的证明——克纳斯特塔斯基定理

Posted by Charlesgao ---> 数学根基(Foundation)

证明两个集合 $A,B$ 相等的一个常用手法是证明两者互相包含，即 $A\supseteq B$ 和 $B\supseteq A$ 。这两个方向的证明往往是独立的。今天我看到一个漂亮的证明，它的特殊性在于——一个方向的证明需要依赖另一个方向已证的结论。

这个定理的名字是克纳斯特-塔斯基定理：一个次序保持函数在完全格上的不动点还是完全格。这是一个很一般的结论。由于完全格不可能是空集，它的一个重要应用就是证明最小(或最大)不动点的存在性。为了避免繁杂的数学定义，我们只考虑它的一个特殊情况——当完全格是集合的幂集格时。此时我们重新表述上面定理的推论：

设 $f$ 是集合 $S$ 到集合 $S$ 上的单调函数，那么 $f$ 存在最小不动点，且它的最小不动点为 $\bigcap \{M|f(M)\subseteq M\}$ 。

证明：设 $P=\{M|f(M)\subseteq M\},p=\bigcap P$ 。
我们首先证明 $p$ 是一个不动点，即 $f(p)=p$ 。为了证明这两个集合相等，我们分两个方向证明：
1. $f(p) \subseteq p$
由于 $p$ 是 $P$ 中所有集合的交集，我们只需证明 $f(p)\subseteq M,\forall M\in P$ 。
$M\in P \Rightarrow p\subseteq M \Rightarrow f(p) \subseteq f(M)\subseteq M$ ，其中第二步用到了 $f$ 的单调性。
2. $p \subseteq f(p)$
注意：这里我们用到了1刚刚证明的结论！
$f(p) \subseteq p \Rightarrow f(f(p)) \subseteq f(p) \Rightarrow f(p) \in P \Rightarrow p\subseteq f(p)$ ，其中第一步用到了 $f$ 的单调性。
由1和2，我们证明了 $p$ 是一个不动点。
下面证明 $p$ 是最小不动点:
$f(q) = q \Rightarrow f(q)\subseteq q \Rightarrow q\in P \Rightarrow p\subseteq q$
Q.E.D.

[English Version of This Post]

Tags: 克纳斯特, 塔斯基, 完全格, 定理, 证明, 集合

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Nov-26-2009

关于可去奇点

Posted by Charlesgao ---> 数值方法(Numeric), 数学分析(Analysis)

在估计函数f(x)的n次拉格朗日插值多项式近似代替f(x)所产生的误差时，我们的课本上首先假设了一个误差函数：
$R_n(x)=f(x)-L_n(x)$
由于在n+1个插值节点处误差为0，故误差函数至少有n+1个零点。课本上于是设
$R_n(x)=K(x)(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$

其中 $x_0,x_1,...,x_n$ 为插值节点。
当初看到这里的时候觉得有点不对劲，难道一个函数有 $x_0,x_1,...,x_n$ 这些零点，就可以表示成如上形式吗？假如f(x)=log(x)，那么误差函数就是log(x)减去一个多项式，怎么可能展开成上述形式？阅读全文 »

Tags: 复变函数, 奇点, 插值, 极限, 洛必达法则, 连续

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Sep-24-2009

关于同胚的定义

Posted by Charlesgao ---> 几何学(Geometry), 拓扑学(Topology), 数学分析(Analysis)

在微分几何中，两个度量空间之间的同胚映射的是这样定义的(WIKI)：
在两个度量空间X和Y上建立的一个映射f:X->Y，如果满足以下三条：
1.f是双射
2.f是连续的
3.f的逆映射f^-1也是连续的
则称f为同胚映射。
当看到这个定义时，我产生了一个疑问：第3条性质的声明有意义吗？存在满足1,2但不满足3的映射吗？模糊的说，f连续的意思不就是当X中两个元素的距离足够小的时候，Y中两个元素的距离也足够小吗？这样看来，f的连续与f^-1的连续好像是对称的，因为如果上一句话满足，那么当Y中两个元素的距离也足够小的时候，X中两个元素的距离不也足够小吗？
今天大牛胡勇给我举了一个反例：
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