“I did the math, but it added up all wrong, 阅读全文 »

对于任意一个三角形ABC，D是A到BC的垂足，过D做AC的垂线交AC于E。F是DE上任意一点。如下图：

证明：AF垂直于BE当且仅当FE/FD=BD/DC 阅读全文 »

　　在动力系统理论中，系统的基本情况称为状态。状态随时间而变化的规律称为动态特性。这个变化的过程可用状态空间（相空间）形象地表示出来，状态空间中的每一个点代表系统一种可能的状态。在状态空间中，动力系统在某一瞬间的全部性态都集中于一点上，而系统演变的情形可以通过状态空间中移动的点来描绘。动力系统随时间演变，其相点在状态空间中将描绘出一个轨迹，我们称之为相空间中的轨道。若时间连续则称之为流；若时间是离散的则称之为映射。
　　状态空间法（相空间法）是现代科学研究中的有用工具，它提供了一种将数字转化为图形的方法。引入状态空间方法最大的优点是便于在研究中观察系统的演化规律。例如单摆，它由两个变量（位移和速度）确定其运动状态，在状态空间中用平面上的点表示其状态的变化过程。
　　耗散系统是指一个远离平衡态的开放系统通过不断地与外界交换物质和能量，在外界条件的变化达到一定阈值时，就有可能从原有的混沌无序状态过渡到一种在时间上、空间上或功能上有序的规范状态，这样的新结构就是耗散结构，或称为耗散系统。
　　耗散系统具有时间单向性。时间变成了不可逆的矢量，单向流逝，一去不返。行为与时间不可分割地熔铸在一起，一起构成了不可逆转的单向过程。我们所遇到的大部分过程都是不可逆转的，比如说热力学第二定律中热传导的不可逆性。我们生存的宇宙是一个我们现在能感知的最大的耗散系统，所以在宇宙中的万事万物都被打上了时间的烙印，不可能再重现历史。
　　吸引子是一种用以刻划状态空间中的长期行为的几何形式，是耗散系统长时间演化的最终归宿。比如说，两杯温度不同的水混合在一起，最终它们将具有相同的温度。这最终的状态对应于状态空间(相空间)中便是吸引子。从数学上讲，吸引子描写了运动的收敛类型，它存在于相平面。简言之，吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它，这样的集合有很复杂的几何结构。吸引子可分为定常吸引子、周期吸引子、拟周期吸引子和奇异吸引子四类。

　　定常吸引子(图a)，具有这种吸引子的系统在状态空间中其轨道趋于一个固定点，不管系统从什么初始状态出发，其长期演化的归宿是恒定不变的，总是停在相空间中的一个固定点上。这是最简单的一类吸引子。 阅读全文 »