,则下的一组标准正交基。所以中的所有函数都能够由这个基在意义下逼近。这个基一般被称作傅立叶基。对于一个函数,

称为的傅立叶级数。其中的傅立叶系数。

类似在上,的一组标准正交基。所以中的所有函数都能够由这个基在意义下逼近。这个基一般被称作多项式基。对于一个函数,

称为的多项式级数(幂级数)。其中的多项式系数。

在第一个例子中,我们取为周期是为了基函数的形式简洁,它可以推广到任何有限周期上。考虑一个定义在上的函数,我们可以将它进行延拓,使其成为上的函数。同样的,第二个例子中的也不具特殊性。任何上的函数的多项式级数也都存在。所以,闭区间上的函数可以由这两组基(傅立叶基、多项式基)在意义下逼近。

在实际应用中,由于这两组基具有很好的性质(比如无穷次可微),我们常常用它们来近似一个给定的函数。近似的意思就是用傅立叶级数或幂级数的有限和来近似。在这个过程中人们发现了两个很有意思的现象——Gibbs现象和Range现象。 阅读全文 »

下面一段英文摘自Wilfrid Hodges的Logic,它表达了什么意思?

For every person and every age, and every positive number, there is a second positive number such that at any age which differs from the first-mentioned age by fewer days than the latter positive number, the person’s height differs from his height at the first-mentioned age by less than the former positive number of inches.

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证明两个集合相等的一个常用手法是证明两者互相包含,即。这两个方向的证明往往是独立的。今天我看到一个漂亮的证明,它的特殊性在于——一个方向的证明需要依赖另一个方向已证的结论。

这个定理的名字是克纳斯特-塔斯基定理:一个次序保持函数在完全格上的不动点还是完全格。这是一个很一般的结论。由于完全格不可能是空集,它的一个重要应用就是证明最小(或最大)不动点的存在性。为了避免繁杂的数学定义,我们只考虑它的一个特殊情况——当完全格是集合的幂集格时。此时我们重新表述上面定理的推论:

是集合到集合上的单调函数,那么存在最小不动点,且它的最小不动点为

证明:设
我们首先证明是一个不动点,即。为了证明这两个集合相等,我们分两个方向证明:
1.
由于中所有集合的交集,我们只需证明
,其中第二步用到了的单调性。
2.
注意:这里我们用到了1刚刚证明的结论!
,其中第一步用到了的单调性。
由1和2,我们证明了是一个不动点。
下面证明是最小不动点:

Q.E.D.

[English Version of This Post]

Nov-26-2009

关于可去奇点

在估计函数f(x)的n次拉格朗日插值多项式近似代替f(x)所产生的误差时,我们的课本上首先假设了一个误差函数:

由于在n+1个插值节点处误差为0,故误差函数至少有n+1个零点。课本上于是设

其中为插值节点。
当初看到这里的时候觉得有点不对劲,难道一个函数有这些零点,就可以表示成如上形式吗?假如f(x)=log(x),那么误差函数就是log(x)减去一个多项式,怎么可能展开成上述形式? 阅读全文 »

在微分几何中,两个度量空间之间的同胚映射的是这样定义的(WIKI):
在两个度量空间X和Y上建立的一个映射f:X->Y,如果满足以下三条:
1.f是双射
2.f是连续的
3.f的逆映射f-1也是连续的
则称f为同胚映射。
当看到这个定义时,我产生了一个疑问:第3条性质的声明有意义吗?存在满足1,2但不满足3的映射吗?模糊的说,f连续的意思不就是当X中两个元素的距离足够小的时候,Y中两个元素的距离也足够小吗?这样看来,f的连续与f-1的连续好像是对称的,因为如果上一句话满足,那么当Y中两个元素的距离也足够小的时候,X中两个元素的距离不也足够小吗?
今天大牛胡勇给我举了一个反例:
阅读全文 »

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