如果集合A的每个元素都是集合B的子集，则称A是B上的一个集族。
那么，给定一个集合S，S上的集族共有多少个呢？
Read the rest of this entry »

两个事物之间的关系称之为二元关系。在数学上，二元关系指的是这样的一个集合S，它的所有元素都为二元有序对。它反映的是有序对中第一个元素组成的集合与第二个元素组成的集合之间的关系。举个例子，集合S={<天秤座,libra>,<狮子座,leo>} 就表示了中文集合{天秤座,狮子座}与英文集合{libra,leo}之间的对应关系。
二元关系可以用集合表示，就像我们上面提到的。而除此之外，还可以用其他数学工具来描述它——矩阵和图。
矩阵的基本元素是数字及其所处的位置。直觉上，我们很自然的想到用它的下标来体现两个集合中的元素，用数字体现它们是否具有关系。这便得出了以下定义：
【定义】设集合A={x₁,x₂,…,x_m},B={y₁,y₂,…,y_n}，R为A,B之间的二元关系。称矩阵M(R)=(r_ij)_m×n为R的关系矩阵，其中

这样我们定义了一个映射，把集合R映射为一个矩阵M。如此定义，首先保证了R的集合表达式和R的关系矩阵是一一对应的。其次，这样的定义会带来很多好的性质。我们可以应用矩阵的语言把整个二元关系的理论重新叙述一遍： Read the rest of this entry »

一个集合{1,2}可以看作是无序对，因为{1,2}={2,1}。有时候我们需要另外一个东西<1,2>，使得<1,2>≠<2,1>，这个东西就叫做有序对。更一般的说，有序对就是指这样一个集合，如果<x,y>=<u,v>，那么x=u && y=v。如果用集合定义有序对使它满足以上的性质呢？我们来尝试一下：
如果定义<x,y>={x,y}，这显然不行。如果定义<x,y>={x,{y}}呢？由于<{Ø},{Ø}>=<{{Ø}},Ø>，这样定义也不行。
第一个成功的定义的是1914年Norbert Wiener给出的。它定义：<x,y>={{{x},Ø},{{y}}}。这个看起来很繁琐。一个形式上比较简单，也是目前共用的定义是Kuratowski在1921年给出的：<x,y>={{x},{x,y}}。下面我们来证明这个定义的合理性，也即：<x,y>=<u,v> iff x=u && y=v
证明：充分性显然。下证必要性。假设<x,y>=<u,v>，那么{{x},{x,y}}={{u},{u,v}}。由此我们可以得出{x}∈{{u},{u,v}}和{x,y}∈{{u},{u,v}}。从第一个关系得到{x}={u}或者{x}={u,v}。类似得，从第二个关系我们可以得知{x,y}={u}或者{x,y}={u,v}。首先假设{x}={u,v}成立，那么x=u=y=v，结论成立。再假设{x}={u}。如果第二个关系中{x,y}={u}，又回到了x=u=y=v的情况。如果第二个关系中{x,y}={u,v}，那么由{x}={u}可知,{y}={v}。因为所有的情况我们都考虑了，所以结论成立。
当得到了有序对的严格定义后，有些读者也许会很自然的想到，能不能把它一般化，如此定义n个元素的有序组，即<x1,x2,…,xn>={{x1},{x1,x2},…,{x1,x2,…,xn}}。 Read the rest of this entry »