在微分几何中，两个度量空间之间的同胚映射的是这样定义的(WIKI)：
在两个度量空间X和Y上建立的一个映射f:X->Y，如果满足以下三条：
1.f是双射
2.f是连续的
3.f的逆映射f-1也是连续的
则称f为同胚映射。
当看到这个定义时，我产生了一个疑问：第3条性质的声明有意义吗？存在满足1,2但不满足3的映射吗？模糊的说，f连续的意思不就是当X中两个元素的距离足够小的时候，Y中两个元素的距离也足够小吗？这样看来，f的连续与f-1的连续好像是对称的，因为如果上一句话满足，那么当Y中两个元素的距离也足够小的时候，X中两个元素的距离不也足够小吗？
今天大牛胡勇给我举了一个反例：
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Archive for the ‘拓扑学(Topology)’ Category
在动力系统理论中，系统的基本情况称为状态。状态随时间而变化的规律称为动态特性。这个变化的过程可用状态空间（相空间）形象地表示出来，状态空间中的每一个点代表系统一种可能的状态。在状态空间中，动力系统在某一瞬间的全部性态都集中于一点上，而系统演变的情形可以通过状态空间中移动的点来描绘。动力系统随时间演变，其相点在状态空间中将描绘出一个轨迹，我们称之为相空间中的轨道。若时间连续则称之为流；若时间是离散的则称之为映射。
状态空间法（相空间法）是现代科学研究中的有用工具，它提供了一种将数字转化为图形的方法。引入状态空间方法最大的优点是便于在研究中观察系统的演化规律。例如单摆，它由两个变量（位移和速度）确定其运动状态，在状态空间中用平面上的点表示其状态的变化过程。
耗散系统是指一个远离平衡态的开放系统通过不断地与外界交换物质和能量，在外界条件的变化达到一定阈值时，就有可能从原有的混沌无序状态过渡到一种在时间上、空间上或功能上有序的规范状态，这样的新结构就是耗散结构，或称为耗散系统。
耗散系统具有时间单向性。时间变成了不可逆的矢量，单向流逝，一去不返。行为与时间不可分割地熔铸在一起，一起构成了不可逆转的单向过程。我们所遇到的大部分过程都是不可逆转的，比如说热力学第二定律中热传导的不可逆性。我们生存的宇宙是一个我们现在能感知的最大的耗散系统，所以在宇宙中的万事万物都被打上了时间的烙印，不可能再重现历史。
吸引子是一种用以刻划状态空间中的长期行为的几何形式，是耗散系统长时间演化的最终归宿。比如说，两杯温度不同的水混合在一起，最终它们将具有相同的温度。这最终的状态对应于状态空间(相空间)中便是吸引子。从数学上讲，吸引子描写了运动的收敛类型，它存在于相平面。简言之，吸引子是指这样的一个集合，当时间趋于无穷大时，在任何一个有界集上出发的非定常流的所有轨道都趋于它，这样的集合有很复杂的几何结构。吸引子可分为定常吸引子、周期吸引子、拟周期吸引子和奇异吸引子四类。
定常吸引子(图a)，具有这种吸引子的系统在状态空间中其轨道趋于一个固定点，不管系统从什么初始状态出发，其长期演化的归宿是恒定不变的，总是停在相空间中的一个固定点上。这是最简单的一类吸引子。 Read the rest of this entry »
今天上习题课的时候老师讲了一道非常有意思的题目：
设F1，F2为R2上两个互不相交的非空闭集，求R2上的连续函数f(x) ，使得
大家可以先想像一下这个函数的三维图形，形象一下说就像是山峰中的两块平地，它们的高度差为１。这个问题的难点就是要求f(x)是一个连续函数。在看解答之前，希望大家能够自己想一想。 Read the rest of this entry »
混沌究竟是如何产生的呢？首先，我们要区分什么是“线性”，什么是“非线性”。总结起来，它们共有以下四点区别：
1 线性是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏离。在实际中，线性关系只适用于自变量的一定范围，不能无限制地进行下去(数学上当然是可以的)，而非线性才能反映“是非曲直”、“过犹不及”、“一波三折”等复杂行为。
2 线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性则有相互作用。
3 线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结构发生变化。例如：对于一个遵从欧姆定律的线性电路，电压U、电流I和电阻R的关系是:U=IR。如果I是频率固定的交流信号I=Icos(ωt)，电压也会有同样的频率ω。但如果电压电流关系中出现了非线性的项，比如说V=RI+R1I2，对于同样的电流输入I=Icos(ωt)，U=RIcos(ωt)+R1(Icos(ωt))2=RIcos(ωt)+(1/2)R1I2(1+cos(2ωt))=(1/2)R1I2+RIcos(ωt)+(1/2)R1I2(cos(2ωt))，电压中出现了输入信号中没有的频率为0和2ω的信号，出现了“无中生有”的现象。只要存在任意小的非线性（如上例中R1<<R），就会出现和频、差频、倍频等成分，但这些新频率成分不是非线性强烈到一定程度才突然出现的阀值现象。
4 非线性是引起行为突变的原因，对线性的细小编离，往往并不引起行为突变，而且可以从原来的线性情形出发，靠修正线性理论去描述和理解。然而，非线性大到一定程度时，系统行为可能发现突变。在前面的例子中，这时输出信号可能突然出现某些分频，如ω/2、ω/4，甚至ω/3。非线性系统往往在一系列参量阀值上发生突变，每次突变都伴随着某种新的分频成分，最终进入混沌状态。
1 线性是简单的比例关系，而非线性是对这种关系的偏离。在实际中，线性关系只适用于自变量的一定范围，不能无限制地进行下去(数学上当然是可以的)，而非线性才能反映“是非曲直”、“过犹不及”、“一波三折”等复杂行为。
2 线性关系是互不相干的独立贡献，而非线性则有相互作用。
3 线性关系保持讯号的频率成分不变，而非线性使频率结构发生变化。例如：对于一个遵从欧姆定律的线性电路，电压U、电流I和电阻R的关系是:U=IR。如果I是频率固定的交流信号I=Icos(ωt)，电压也会有同样的频率ω。但如果电压电流关系中出现了非线性的项，比如说V=RI+R1I2，对于同样的电流输入I=Icos(ωt)，U=RIcos(ωt)+R1(Icos(ωt))2=RIcos(ωt)+(1/2)R1I2(1+cos(2ωt))=(1/2)R1I2+RIcos(ωt)+(1/2)R1I2(cos(2ωt))，电压中出现了输入信号中没有的频率为0和2ω的信号，出现了“无中生有”的现象。只要存在任意小的非线性（如上例中R1<<R），就会出现和频、差频、倍频等成分，但这些新频率成分不是非线性强烈到一定程度才突然出现的阀值现象。
4 非线性是引起行为突变的原因，对线性的细小编离，往往并不引起行为突变，而且可以从原来的线性情形出发，靠修正线性理论去描述和理解。然而，非线性大到一定程度时，系统行为可能发现突变。在前面的例子中，这时输出信号可能突然出现某些分频，如ω/2、ω/4，甚至ω/3。非线性系统往往在一系列参量阀值上发生突变，每次突变都伴随着某种新的分频成分，最终进入混沌状态。
经典动力学理论认为，如果知道了一个系统的初始状态，我们就可以根据普通物理定律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态，拉普拉斯曾将这种思想推广到整个宇宙，认为只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动力学方程，我们就可以精确地了解宇宙的过去和预测宇宙的将来。
然而概率论和统计的观点认为，一个系统的未来状态，并不是完全确定的线性因果链，而是存在许多随机的因素，人们只能从大量的偶然性中寻求必然的趋势，世界的发展遵循着统计的规律。
决定论和非决定论，普通物理学规律和统计学规律一直以来都有着不可调和的矛盾，科学家们陷入苦恼的悖论之中。爱因斯坦认为“上帝不是在掷骰子”，只是因为知识不完备，才出现这种情况。霍金则认为，概率性、统计性是世界的本质，上帝不仅在掷骰子，而且会把骰子掷到人们无法知道、根本看不到的地方。
而对混沌现象的研究，给这种困境带来了希望之光混沌理论描述的系统，其动力学方程是完全确定的，然而这种系统的长期演化行为存在着随机性。在这里，确定性的动力学规律描述的系统出现了统计性结果，使矛盾的两个方面得到了辩证的统一。
人们对混沌现象的研究已有一百多年的历史，但是它不像相对论和量子理论有自己理论的公理性假设，它只是用已有的动力学理论来研究一些复杂系统，使人们看到了自然界的更为复杂的内容，揭示了决定性与概率性之间的内在联系，使人们观察世界的观点和方法比以前有了更进一步的发展，使人类对自然世界的抽象更客观。
混沌是决定性系统的内在随机性，这句看来似乎是对决定论和概率性的调和性论述，无论对于持决定论观点还是概率统计性观点的人来说都有点难于理解。但这句话的确揭示了复杂世界的本质，因而对混沌理论的认识将会改变人们观察和思考世界的基本观点。
虽然混沌学的研究仍处于萌芽阶段，但也已经出现了一些具有重要意义的结果： Read the rest of this entry »