在微分几何中，两个度量空间之间的同胚映射的是这样定义的(WIKI)：
在两个度量空间X和Y上建立的一个映射f:X->Y，如果满足以下三条：
1.f是双射
2.f是连续的
3.f的逆映射f-1也是连续的
则称f为同胚映射。
当看到这个定义时，我产生了一个疑问：第3条性质的声明有意义吗？存在满足1,2但不满足3的映射吗？模糊的说，f连续的意思不就是当X中两个元素的距离足够小的时候，Y中两个元素的距离也足够小吗？这样看来，f的连续与f-1的连续好像是对称的，因为如果上一句话满足，那么当Y中两个元素的距离也足够小的时候，X中两个元素的距离不也足够小吗？
今天大牛胡勇给我举了一个反例：
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Archive for the ‘几何学(Geometry)’ Category
对于任意一个三角形ABC，D是A到BC的垂足，过D做AC的垂线交AC于E。F是DE上任意一点。如下图：
证明：AF垂直于BE当且仅当FE/FD=BD/DC Read the rest of this entry »
天衣岂无缝，匠心剪接成。
浑然归一体，广邃妙绝伦。
造化爱几何，四力纤维能。
千古存心事，欧高黎嘉陈。
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以上是国际数学界广泛流传的一首诗，它的作者是杨振宁。
最后一句“欧高黎嘉陈”，说的是历史上五位对几何学做出巨大贡献的数学家。
他们分别是欧几里德、高斯、黎曼、嘉当和陈省身。
这首诗确实蕴含了一些科学历史和知识，但是从文学角度看，这首诗确实写的不怎么样。读起来不押韵，而且意境不连续。
浑然归一体，广邃妙绝伦。
造化爱几何，四力纤维能。
千古存心事，欧高黎嘉陈。
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以上是国际数学界广泛流传的一首诗，它的作者是杨振宁。
最后一句“欧高黎嘉陈”，说的是历史上五位对几何学做出巨大贡献的数学家。
他们分别是欧几里德、高斯、黎曼、嘉当和陈省身。
这首诗确实蕴含了一些科学历史和知识，但是从文学角度看，这首诗确实写的不怎么样。读起来不押韵，而且意境不连续。
证明：单位正方形内部没有公共点的两个小正方形的边长之和不可能达到1。
这个命题看似很显然，但是证明起来却需要动一番脑筋。
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可以说欧拉(Leonhard Euler)是18世纪最伟大的数学家，也是历史上最伟大的数学家之一。几乎每一个数学领域都可以看到他的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等，数也数不清。他一生著作有四十五卷，论文超过七百篇。欧拉直线便是他的论文成果之一。它以证明的简洁而著称。
欧拉直线是说明的这样一个定理：任意三角形的外心（外接圆圆心），重心（中线交点）和垂心（高线交点）在一条直线上，并且垂心到重心的距离两倍于重心到外心的距离。 Read the rest of this entry »