爱因斯坦：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。因为…，而提出新的问题、从新的角度去看旧问题，却需有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。由被蒙在鼓里的“没问题”到“有极重大问题”当然是数学认识的飞跃；但目光远大者更关注发现的方法——“渔”。本文改天换地的太重大问题的发现来自于太浅显的集相等的含义：集A=B是说A的元x与B的元y可一一对应相等。故只要懂：函数与集论的基本概念和几何常识：图形的任何变换都是由于组成图的点p都变为新规定的点p′=f（p），就能读懂本文。本文的内容除第5节外基本没超出初等数学范围。
如何定量刻划与描述子弹d射进木柱内后又穿出给木柱钻出了一个洞d′这一事实？设z轴是柱子，那么子弹点d（x，y，z）必先与z轴“接吻”，然后才能进入轴内。然而对这一变化规律，常规数学根本不能定量刻划。点d到z轴的点d′的距离ρ≥0，d进入z轴时ρ=0，但d与轴“接吻”时ρ=？如[1]所述，这说明数学还无法定量描述d的这一空间位置的改变的有序性质。症结就在“点无大小、线无宽度却又能占据空间位置”上。详论见第4节。不能因理论的重大缺陷而否定d的有序变化规律。由大到小取值的ρ≥0不取完变域U的一切正数就绝不能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的变域为[-1，1]的x不取0就绝不可取负数一样。不纠正几千年重大错误：U无最小正数，就不能破解2500年芝诺著名运动世界难题。不能真正用数表达运动的相关学科还处于不知其所以然的唯象论阶段。
1.要注意此x>0与彼x>0有根本区别——可视其为0而忽略的x可取一切正数？
说y=2x>x>x/2>0中的y与x都可一个不漏地遍取所有正数就是说x/2>0和x都可一个不漏地遍比所有正数y都小而取非正数——重大错误。否定此事实者暴露其缺乏起码语文与数学常识。y>x中的y的取数范围是受关系式制约的，y可取一切正数的必要条件是x可<一切正数而取非正数。正如0<yx表达对于x的变域X的一切数x都有y>x，以及对于y的变域Y的一切数y都有xx中的y可一个不漏地遍取Y的一切数y使代表数的x必可一个不漏地遍比Y的一切y都小而代表（取）Y外的数。代数常识：若代数式y>x中的y代表任何正数则此式所代表的内容之一：有数x0中的x可取所有正数即任何正数都可由此x代表，问题是y2 =2x>x>0与y3 =x/20中的x可=y1吗？h常识1表明y3 中的x不可取所有正数。关键：y3的x被限制是y3的反函数使其所取的数x都须有别的数x/2与之对应，而独立变量y1=x就不受此约束即其无须与别的变量如x/k（k>1）有函数关系。同理y2 中的x也不可取所有正数。否则就出现重大病句！
学风不正的竞分数而弃实学者无力认识最起码常识：“对于一切（任何）正数x都有0<x”表示0可0可>x>0
中与1010x相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略不计的x>0可遍取一切正数即断定y的定义域包含一切正数。
设BЭy表示：B的一切（每一）元y，y的变域是B。由上得
h定理1：元为x>0的V+不可既含全部正数而又有V+Эx>x/k>0。
2.极浅显集相等概念揭示中学极重大错误：搞错了无穷多变量的变域——将革命道理形象直观化
一截橡皮筋（橡皮点的集合） 拉长为 后各个点都变长了，但各点之间的前后顺序关系没任何改变。这可看成是一种有序集的元的保序变换。若有序数集A＝B则显然A的元与B的元必可由小（大）到大（小）一一对应相等。
x数轴A各点均由x变为点y=x，x轴就变换为以点y=x为元的的y=x轴B=A，但A各点x均保序变为点y=kx（k>0）得y=kx轴还=A吗？设想如一硬币叠压在另一硬币上那样，y=x轴B=R的各点y=x都叠压在x轴A=R的点x上，y轴就叠压在x轴上形成一双轴了。上轴点y=x与下轴点x一一对应相等。现上轴的正半轴R+的点y=x全都离开原位置地沿轴正向保序前移至新位置y=kx=x+△x>x>0形成以点y=kx为元的集Z+（此处的点x变为点y只是改变点的位置），R+显然就至少空出一正数位置y=x=a落在一切前移了的正数点的后面——非常形象直观地表明R+至少有一数a0不可一一对应相等。这就将革命的h定理2形象直观了。
h定理2：元为正数的A的元x>0都保序变大为y（x）=x+△x>x（△x=y-x）得以y为元的B必≠A，且A必至少有一元x<B的一切元y；A的元x都保序变小为x+△x0与y=x+△x=x是重合在一起的二变数，现y全都保序变大为y=x+△x>x得B，据保序变换的性质A的各x可与B的各y中的x一一对应相等而不可与y本身一一…使B≠A。同样，A的x都保序变小为y=x+△xx∈A”明确表达：A中有元x0变为kx所得的集可记为kR。因R≠2R≠（1/2）R≠3R≠…，故R×R≠2R×2R≠2R×R≠2R×3R≠（1/2）R×R≠（1/2）R×（1/2）R≠…。故直线y（x）=kx并非R2的子集而是R×kR的子集。
搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
3.此点集（a，b）≠彼点集（a，b）——h常识1推翻百年“R完备”定理
应有关于集合的h常识2：无穷集A若只能～B的一部分就说明B至少比A多含一个元。两集不对等就更谈不上相等。
x轴A与它的象y=kx轴A′是否全等？据全等的含义若A的线段[0，b]不≌（全等于）A′的线段[0，b]就证明A不≌A′，正如若甲人左手≠乙人左手就证明甲、乙不是同一人一样。显然有
h推论2：元为实数点的数轴A的象是B，若A～B且A的原点的象是B的原点，同时A的任一线段（a，b）都≌B的线段（a，b）则A≌B。
点集D=Z就是相应两图形可重合相等使两图的点能一一对应重合相等。可重合的两图形必全等，两图若不全等就更不可重合——此几何常识表明有：
h定理3：若点集D不≌Z就更≠Z。
y=x轴的线段L=（0，10）的一部分D=（0，1）的各点x均保序变为点y=10x得以点y为元的y=10x轴的线段L′=（0，10） ～D。问题是“L=L′”等等是中学重大错误。理由——
因L′～D的元10x不可与L的元x一一配对而只能与～D的集的元一一配对（h问题：谁能在x∈L与10x∈L′之间建立一一对应的关系？），故：①据h常识2，L≠L′。②据全等变换的定义，L′不～L就不可有L′≌L从而更不可有L′=L（h定理3）。缘于它们的组成成员不同：L的元是点x而L′的元却是点10x。且极显然：“对于L′从大到小的每一元y=10x>x∈D都有D的正数x<y”就是说DÌ L有正数x<L′的每一元y。
可见存在用而不知的两直线段：长度相同但“像素”点却不一样多，从而不全等；以为其全等就引发出一连串的重大错误。应有：
逻辑学常识s：因直线段是由各点按一定的排列方式各就各位地分别占据一定位置而形成的，故若点的多少和排列顺序、方式都没改变，点的大小也没改变，就绝不会有图形的形状与大小的改变。
橡皮平面上的数轴是橡皮直线。y=x轴的D“拉长”变换为y=10x轴的L′（L′叠压在y=x轴的L上），点的多少和排列顺序都没改变，据常识s若“点的大小也没改变”就构成尖锐自相矛盾：D的点没发生使D变长的变换却能有D的变长（这犹如说水平面上的车是在重力的作用下前进的那么荒唐）。
h常识1 表明“对于x轴内从大到小的每一正数x都有标准正数y=x/2<x”就是说有标准正数y标准正数x/k=y>0”直接表达有数0<Ｒ＋的所有x，同时也直接表达有“更无理”标准正数yx>0的正凡数y都有性质：在y与0之间至少有一正数x，即正凡数都至少>一个正数。因1以内的正数x都有对应数kx>x，故可设Ⅰ式的x的变域是D=（0，1），以下证明D中有非凡数：
D=（0，1）的元x>0都保序变大为y（x）=kx=x+△x>x∈D 得以y为元的Z～D。Z真的=（0，k>1）=D∪[1，k）=K吗？即定义域为D的y=kx的值域Z=K吗？
①因Z～D不可～K（参见h问题）而只可～K 的一部分：D以及与D～的集，故据关于集的h常识2，K至少比Z多含一个元（故Z～D是K 的真子集）即K必至少有一x=t不能纳入Z内；且由h定理2，DÌK中必至少有一元xx∈D组成了Z，Z外无凡数∈K，故Z外的正数t∈K必是非凡数而不可至少>一个正数, 即其小至无对应正数t/k∈D，显然t就是最小正数0′而在0与0′之间连一个正数也没有！相应的0′/2等都不代表数，无意义，正如当x=0时c/x不能代表数一样。同样，x±0′/2等等都不是数。详论见[3]。
②据h常识1，说Ⅰ式的y>x也可一个不漏地遍取D的所有数，那就是说变域为D的x可一个不漏地遍比D的所有数y都小而取D外数——荒唐！故D内必至少有一此y>x（可取K的所有凡数）不可取的非凡数x=0′。证毕。
故“定义域为（0，1）的y（x）=x/k（k>1）与y=x2等等”是不能成立的。应改为“定义域为数轴的线段（0，1）的y=…”。人们在计算中用的数一般都是凡数，但这≠数学本身没有非凡数，正如谁也不能画出长≠0但又短至＜“任意给定的正数ε”的无穷短线段，≠数轴没有此类直线段一样。由小到大取值且变域为(0,1)的变量若没有第一次的取值就绝不能有以后各次的取值，人类不知其第一次取何数，恰恰表明人对变量变化的规律无力把握。
各正数都能由x代表，但代表正数的x都有对应符号x/k≠各正数x都有对应正数x/k。显然y+0′与数y之间没有数。
上述证明中的“（0，1）”换为“R的线段（0，1）”；“…”换为“R的凡数”；“…”换为“R的正凡数都至少>一正数∈R”等；就有
h定理4：x轴R有最小正数点x=⊕使一切⊕/k（k>1）都不∈R而在R外。相应y=kx（正数k≠1）轴有最小正数点y=k⊕。
将“（0，1）”换为“元为正数的集”，…，可证：
h定理5：元为正数的集V+均有最小元。由此得
h推论3：由非负数组成的集都必有最小正数元。故形如ρ≥0的距离函数ρ的变域必有最小正数元。
可见元为实点的任何y数轴T的各正数y若都有比其小的正数y/k（k>1），则并非所有y/k都能还在T内！R的线段（0，1）各元可排为一有首、末项的无穷数列：⊕,2⊕,…，n⊕，…，1-⊕。故x轴是由长为⊕的点组成的。故集论立论的论据被推翻。若⊕有无穷多对应正数⊕/k（k>1）则⊕及>⊕的正数相比下全都是极大极大正数，故x轴的各点远不可与各实数一一对应。当然，⊕是一切已知正数的无穷大正数，⊕2是关于⊕的二级无穷小正数，…。
⊕=⊕2/⊕=（1/⊕）⊕2是⊕2的1/⊕倍；…；低级无穷小正数无穷大倍于高级无穷小正数，记为
…>>>⊕1/2>>>⊕>>>⊕2>>>…。
⊕具有既小又大的两重性。R的各一般正数点x均有与之最近的同属R的正数点x+⊕，x±⊕/2等等都不∈R。
如[1]所述将⊕放大1/⊕倍，R就是由长度为1的点组成的，2R是由长为2的点组成的，…。紧挨着的两对点：□□ 、◇◇（还可是长方形等等）的点与点间的距离是它们的中心的连线的长。如水是由水分子组成的那样，R由相对于R来说不可再分的“分子”点组成，分子也是无限可分的，即R的点也是无限可分的：其也是无穷多个更小的点的点集，但凡长≠⊕的点都不是R的“分子”。各点的大小、形状都一样的直线等称为单纯点集，否则称为混合点集，正如糖水内既有水分子也有糖分子那样。对数轴的结构的认识限于篇幅这里只能挂一漏万。
几何常识：沿数轴R运动的点由位置b移至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处。不识2处之间的一切位置的坐标数就根本不能真正用数来表达运动。因R是连续的，故沿轴运动的点x从原点o出发→1必首先与o相隔有穷多个点，然后才能与o相隔无穷多个点，数学断定R的任何正数点位置都与o相隔无穷多个点∈R，这显然抹杀了x有序渐变的连续变化的性质。且自然界中既有飞跃性的突变，更有“冰冻三尺非一日之寒”的渐变。“R的任何已知正数点都与o相隔无穷多个点∈R”才是正确的。
5.搞错正负号会造成重大损失——点的坐标数与点本身有根本区别
据h推论3，xy面R2上任何过点(0，0)的连续曲、直线上的点(x ,y)到(0，0)的距离ρi（i=1，2，…）≥0的变域Ui中都必有最小正数元——表明各线都有与(0，0)最近的点(x ,y)。R2的点(x≠0 ,y≠0)到(0，0)的距离的平方是ρ2=x2+y2>0，因|x|、|y|能取的最小值都是⊕，故ρ2能取的最小值=2⊕2。故R2的第一象限内与(0，0)“接吻”的点只能是x=y=⊕，同样，…；故存在(0，0)的最小去心邻域h内只能有8个点！
△z=dz+d2z/2！+d3z/3！+…往往是很复杂函数而不能计算出其精确值。故不懂近似计算就不能了解曲面z在一点邻近的结构与形状。研究z在切平面的上方还是下方对于正确画出z很重要。很复杂函数M=△z-dz>0时z在切面的上方，0、|y|>0都被限制只能取R+内数，z的麦克劳林级数是z本身，曲面z的切平面是z=0x+0y，切点是O（0，0，0））与首项y2>0同号使
（y2-104×4）y2>0………A
在（0，0）的某充分小的（去y=0的点）邻域I内。故满足（y2-104×4）0代入A式则该式不成立说明曲线y2=x4即y=x2的点都不∈I！误以为其有点∈I就会搞错z的正负号而不知曲面z的点O为心的充分小子部的各除y=0的点都在xy面的上方。然而数学断定I必含曲线y=x2>0的点，症结是中学重大错误：断定y=x2中的|x|>0与y都可遍取R的所有正数。
即使是比定量分析低一层次的定性分析也须正确了解函数的正负号，否则连曲面在一点邻近的大致轮廓也搞错了。科学实践中搞错正负号是会造成重大损失的。详论见[4]。
当k是有穷正数时比⊕高级的k2⊕2等都不∈R（R的最小正数是⊕），故当|x|小至=k⊕时y=x2不∈R即I内各点的坐标都不可有关系y=x2∈R。故上述曲线y=x2在x轴R的正投影≠R。同理，|x|∈R+充分小时曲线关系y=x±x2∈R不成立（例如⊕±⊕2不∈R）而代之以直线关系y=x∈R，…。同理在（0，0）的某充分小的去心邻域内能包含过（0，0）的一切直线y=kx的相应子部，却根本不可包含曲线点y=xk（k>1）；…。这揭示有
h推论4：光滑曲线Q的每一元素点p都是与Q切于p的切线的以p为心的相应子部。
一直铁线弯曲为抛物线，显微镜下可知原线某些部分被挤压、某些部分被拉伸了。故抛物线的“像素”点的大小是不尽相同的。“曲线y＝x2的元素点p（0，0）”中的“（0，0）”只是表示点p的空间位置的坐标而非点本身，该点与xy面的元素点（0，0）是有重大区别的，即两点的大小有重大区别。
6.结语
著名科学家周光召：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”线的“基本粒子”的发现说明：须重新认识分形几何、重新认识…、…；“数学，尤其是初等数学领域绝对不可有颠覆性创新”“百年数学公理与定理绝不可被推翻”是使数学停滞不前的思想牢笼、是落后的近视观点。“大（小）疑则大（小）进，不疑则不进。”是至理名言啊！高隆昌教授透露有学而思的数学学生经过对书上数轴的深入研究、思考后不禁敏锐地产生大疑：“也许人们所走的数系发展道路错了，才使得如今对无穷小结构、无理数表述、连续统认识等等才如此艰难。…，为此他经常想得头发晕，…[5]”。敢于坚持“科学无禁区”的大无畏精神，破除迷信、解放思想，才能创造世界奇迹使数学有质的飞跃。
参考文献
[1]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[2]黄小宁，中学极显然重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2010（7）。
[3]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年10月第2期：29。
[4]黄小宁，几何常识凸显已知数全体仅为数宇宙的一颗星球[J]，科技信息，2010（11）。
[5]高隆昌，数学及其认识[M]，北京：高等教育出版社，2001.10：135。
[6]黄小宁，再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。
[7]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由[J]，科学中国人，2009（4）。
[8]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267。
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