今天上习题课的时候老师讲了一道非常有意思的题目：
设F1，F2为R²上两个互不相交的非空闭集，求R²上的连续函数f(x) ，使得

大家可以先想像一下这个函数的三维图形，形象一下说就像是山峰中的两块平地，它们的高度差为１。这个问题的难点就是要求f(x)是一个连续函数。在看解答之前，希望大家能够自己想一想。 Read the rest of this entry »

    经典动力学理论认为，如果知道了一个系统的初始状态，我们就可以根据普通物理定律推算出它随着时间变化所经历的一系列状态，拉普拉斯曾将这种思想推广到整个宇宙，认为只要知道了构成宇宙的每个质点在某一瞬间的位置和速度，又知道了动力学方程，我们就可以精确地了解宇宙的过去和预测宇宙的将来。
     然而概率论和统计的观点认为，一个系统的未来状态，并不是完全确定的线性因果链，而是存在许多随机的因素，人们只能从大量的偶然性中寻求必然的趋势，世界的发展遵循着统计的规律。
　　决定论和非决定论，普通物理学规律和统计学规律一直以来都有着不可调和的矛盾，科学家们陷入苦恼的悖论之中。爱因斯坦认为“上帝不是在掷骰子”，只是因为知识不完备，才出现这种情况。霍金则认为，概率性、统计性是世界的本质，上帝不仅在掷骰子，而且会把骰子掷到人们无法知道、根本看不到的地方。
　　而对混沌现象的研究，给这种困境带来了希望之光混沌理论描述的系统，其动力学方程是完全确定的，然而这种系统的长期演化行为存在着随机性。在这里，确定性的动力学规律描述的系统出现了统计性结果，使矛盾的两个方面得到了辩证的统一。
　　人们对混沌现象的研究已有一百多年的历史，但是它不像相对论和量子理论有自己理论的公理性假设，它只是用已有的动力学理论来研究一些复杂系统，使人们看到了自然界的更为复杂的内容，揭示了决定性与概率性之间的内在联系，使人们观察世界的观点和方法比以前有了更进一步的发展，使人类对自然世界的抽象更客观。
　　混沌是决定性系统的内在随机性，这句看来似乎是对决定论和概率性的调和性论述，无论对于持决定论观点还是概率统计性观点的人来说都有点难于理解。但这句话的确揭示了复杂世界的本质，因而对混沌理论的认识将会改变人们观察和思考世界的基本观点。
　　虽然混沌学的研究仍处于萌芽阶段，但也已经出现了一些具有重要意义的结果： Read the rest of this entry »