几何概率在现代概率概念的发展中起到了非常重大的作用。曾经的一篇博客 用概率来计算∏（德布封的针问题） 就是一个例子。在19世纪，人们一度认为任何概率问题都有唯一的解答。然而Joseph Bertrand在1888年提出的一个问题改变了人们的想法。
在半径为1的圆内随机取一条弦，问其长度超过该圆内接等边三角形变长(根号3)的概率是多少？
【解法1】

由于弦交圆于两点。我们先固定弦的一个端点。以此端点做一个等边三角形(如图)。显然，只有穿过此三角形内的弦才符合要求。而符合条件的弦的另一端正好占整个圆弧的1/3。并且，不论固定的那个端点在圆上的哪个位置，情况都是一样的。所以结果为1/3。
【解法2】 Read the rest of this entry »

从n个元素中有重复地取r个，不计顺序，则不同的取法有多少种？
这个问题的答案被称为有重复组合数。结果很简洁，是C(n+r-1,r)。(注：这表示从n+r-1个数中取出r个数的组合数)
这个C(n+r-1,r)是怎么来的，我一开始也很费解。后来从网上找到了两个证明，豁然开朗。由于它们的证明都很漂亮，所以我引用到我的博客中。
【证明1】
我们先把原命题具体化。假设这n个元素就是1~n这n个数。 
对于每一种选出来的组合a1，a2，a3，… ，am，我们要求：a1<=a2<=a3<=…<=ar
我们的目的就是找出这样的a(i)组数
这里我们构造b1=a1，b2= a2+1，… ，b(i)= a(i)+(i-1)，… ，b(r)= a(r)+(r-1)
于是b(i)和a(i)一一对应，即所求a(i)组数对应于b(i)组数
又：b1<b2<b3<…<br 且b(i)取值于1~ n+(r-1)
亦即原命题等价于从1~ n+r-1中取得r个不重复排列数
来源：http://zhidao.baidu.com/question/16706714.html
【证明2】 Read the rest of this entry »