在这篇文章里，零点定理被巧妙的应用于解决一个实际问题－方桌问题。这里又是一个例子。
证明：平面上，沿任一方向作平行直线，总存在一条直线，将给定的三角形分割成面积相等的两部分。
在平面几何中，我们的任务是如何找到这样一条直线。而在这里，我们将证明它的存在性。（在很多情况下，证明存在性是很重要的。比如说这个命题：在周长相等的封闭平面图形中，圆的面积是最大的。要证明这个命题，我们先要证明在平面中，存在这样一个封闭图形，它的面积最大。然后再证明这个图形是圆。这个命题的存在性的证明是十分困难的，它的困难程度甚至超过了证明它是圆本身。BTW,整个公理集合论的基础是建立在10个基本的公理之上的，这些公理中一大部分都是存在性公理，比如说最简单的空集公理：存在一个集合，这个集合中没有任何元素。有了这个公理，我们才可以定义空集。可以说，存在性是一切性质的前提。）
好，现在我们来证明这个命题。
设三角形ABC为已知三角形，l为已知方向，建立如图所示的平面坐标系，以S(x)表示阴影部分的面积。

下面先证明S(x)是一连续函数
事实上，对于任意的x1,x2属于[a,b]，由于|S(x1)-S(x2)|<=|OT|*|x1-x2|，可知S(x)不仅是连续的，还是一致连续的。
设三角形ABC面积为M.
对于函数f(x)=S(x)-M/2，有f(x)连续。f(a)= -M/2 , f(b)=M/2 ,由零点定理，知存在一点c属于[a,b]，使得f(c)=0，即S(c)=M/2
命题得证。

[English Version of This Post]