如果集合A和集合B之间存在一个一一映射(双射)，则称A和B等价。如果A和正整数集N等价，我们称A是可数的。换句话说，A可数的充要条件是A中的全体元素可以排列成a1,a2,…,an,..的形状。
根据这个定义，我们很容易得出整数集是可数的。因为我们可以构造如下正整数集到整数集的一一映射：
一个更有意思的命题是：
可数个可数集的并是可数集。
它的证明使用了经典的“对角线”法，这种方法被各种实变函数或集合论的书广泛采用。
证明：假设{Am}是一列可数集，其中Am={am1,am2,…}，把它们按如下顺序排列
可以按如图箭头所指的方向数U{Am}中的元素，即把U{Am}中元素排列成a11,a21,a12,a31,…}，于是U{Am}是可数的，命题得证。
上述证明虽然已经说明U{Am}可数，却没有给出它与正整数之间的一一映射关系。能否写出这个映射呢？
仔细观察发现，每个“对角线”上元素amn的下标之和m+n是一个常数。于是我们可以得到，按上图所示的排列方法，amn所处的位置为：
其中m+n≥3，a11=1
这样我们就得到了U{Am}到正整数集的一个一一映射：
这个命题的一个应用就是：有理数集是可数的。因为有理数可以被看作一个二元有序对(p,q)。但当我们用类似的方法排列有理数时，却发现了上述映射的一个致命错误：
(图片来自维基百科，它采用了“蛇状”的盘旋数法)
注意到图中红色的有理数，它们的分子和分母有公约数，这些数都已经被数过了。也就是说，我们上面构造的映射中忽略了amn中会有重复元素的情况。
我试图把重复的情况考虑进去，构建从正有理数到正整数的一一映射，但发现这时问题变得异常复杂，最终没能写出一个通式来。
那么，到底能不能找到这样的一个映射关系呢？我google了一下，还真有人找到了[1]。他的方法用到了二进制和Pierce展开式。大概思想是通过建立正整数和n元有序对之间的双射，再建立Pierce展开式和n元有序对之间的双射，进而得到正整数和Pierce展开式之间的双射。而每个Pierce展开式又唯一的对应着一个正有理数。
参考资料：
[1]http://www.springerlink.com/content/u13v0143126t5785/
相关日志:
当时在看《什么是数学》的时候没有深入的想这个问题，只当作是等势的定义来读了
[Reply]
除了用蛇形排序外，还有其他排的方法嘛
[Reply]
Charlesgao 回复 :
有啊～
文中开始介绍的那个11,21,12,31,22,13,…就是一种，
或者11,12,21,13,22,31…
或者11,12,22,21,31,32,33,23,13,14,…
…
[Reply]
这个好像是叫做对角法还是什么来着？记得具体数学上有这个
[Reply]
你好，我个也想写一个数学博客，但不知用什么写数学文章较好，latex2html?还是tex4ht?
你用的似乎是wordpress，请问在那个免费主机较好？
[Reply]
写公式为啥不用latex呢
[Reply]
Charlesgao 回复 :
很想用
，但是没有找到wordpress相应的latex插件 
[Reply]
极显然：自然数集增一元就不能还是可数集了
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
用一车砖建一围墙，建到还剩一缺口就没有砖了。“拆东墙补西墙”地补上此缺口并不能改变此车砖不够用的事实。
什么是可数无限集？王元、万哲先等译《数学——它的内容，方法和意义（3卷）》8页：若集合A的元素可以用全体自然数来标记：元1，元2，…，元n，…（所有标记数n组成自然数集N——黄小宁注）那么就说A 是可数无限集（记为A～N）。（此书将0排除在N外，本文遵从此约定。）
两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给可数无限集U增一元得U+｛a｝=H就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。显然用自然数n标记U的各元就无一遗漏地用光一切自然数n了，否则U的元与N的元就不一样多了。否认此事实者，反映其连“一一配对”这一常识性概念都还未弄懂。故H中的a已没有自然数为其标记而必须用别的数如超自然数来标记a元素。
可见H是不可数无限集——它的元不可以都用自然数来标记，原因是N不够用。至于书本上说的H～N的理由是不能成立的,是被“拆东墙补西墙”造成的假象所迷惑的一厢情愿。
有数学家说:学数学也可”看图识字”。U的元1可形象化为①，小圆盘表示U的元，圆盘中粘贴上自然数1以标记此元。U的每一元(圆盘)上都粘贴一相应自然数，每一自然数都被粘贴在U的圆盘上——形象说明…就用光一切自然数n了。.现在若要在U外的圆盘上粘贴自然数1就须将U的元①中的1撕下来移到…，同样，…。由此可知U外圆盘上粘贴1后，U中就必总有一圆盘上不能有自然数。这说明有
h定理：在B=C+D中若C或D是可数无限集，则B就不可～N。
这就推翻了“定理2 在可数无限集中增加或减少有限个元素，还是可数无限集[1]。”。
关键是如[2][3]所述，自然数列
（1，2）（3，4）…=N
的各项能一一配对而无一“单身”，而N的各项都由n变为y=n+1后再增添新首项1得
1（2，3）（4，5）…= N′
中的1就只能“单身”，除非拆散某“夫妻”，即其奇数与偶数不一样多！故N≠N′！而且关系式y=n+1>n=1，2，…（自然数列）也一目了然地表达y=n+1必可>数列N的一切数n——意味相应y=2，3，…中有超自然数y>N的一切n！由认识自然数到发现此推翻百年自然数公理的N′竟须历时5千年！自识自然数5千年来一直无人识破此｛n｝≠彼｛n｝就使人不知道百年自然数公理“N的各元n都有对应 n+1∈N”是一种错觉。从而使康脱误入百年歧途推出庞加莱认为是病魔的集论。
{1，2，3，…}=N′
{1，2，3，…}=N
中的N′是N各元n都+1得Z={2，3，…，n+1，…}的真扩集{1}+Z=｛1，2，…，n，…｝。
以上拨开5千年迷雾地说明“N′= N”是自识自然数多得写不完5千年来一直无人识破的似是而非的假象——使康脱脱离健康误入百年歧途：据N各元n的斜上方都有n+1∈N′而断定…，使人们坚信：谁说推翻了集论谁就是想出名想到疯了！
参考文献
[1]田开璞，现代科学数系论[M]，济南：山东科技出版社，1998.4：10。
[2]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0 ——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项 [J]，科技信息，2009（1）。
[3]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[4]黄小宁 50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
电联:13178840497
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
[Reply]
再论两集不对等就更谈不上相等
——中学几百年重大错误：将两异集误为同一集
黄小宁（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
【摘要】自有直线函数概念几百年来一直认定定义域为（0，1）的y=100x的值域=（0，100），其实是重大错误。几百年解析几何一直将y=x数轴与人们未知的y=2x数轴等各不同的数轴误为同一轴而不知有用而不知的正数>（n=1，2，…（数列N）也一目了然地表达y=n+1必可>数列N的一切数n——意味相应y=2，3，…中有超自然数y>N的一切n！
如[3]所述，“对于任何一个自然数n都有自然数y=n-1<n”是病句：有自然数yn”——自然数公理也是违反语文常识的重大病句：有自然数y>任何（所有）自然数n。起码数学常识：说y=n+1>n=1，2，3，…（y∈正整数集N）中的自变量n可由小到大、一个不漏地遍取N的一切数，显然就是说代表N内数的y可一个不漏地遍比N的一切数都大，即说N内有数y>N的一切数——重大病句！关键是最起码数学常识：代表N内数的y可>式中数列的一切n。故若限制y∈N则y的定义域≠N。
故定义域为N的y=n+1>n的值域Z～N不是N的真子集，中学数学误以为N ÉZ是搞错y的变域的重大错误。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
D～G表示D与G对等，就是说两集分别包含同样多（个）元素——两集相等的必要条件。两集不对等就更谈不上相等。
两不交且非空的集U、V的并记为U+V。给U增一元得U的真扩集U+｛a｝=H就比U多了个U所没有的数a——不论U是否无穷集。
由存在上述“单身”元的原因得[2]中的
h定理1（真扩集定理）：无穷集D～G的真扩集D+E=K必不～G而至少比G～D多含一元。即对等的两集的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
证：D～G的元（阳）与G的元（阴）一一阴阳配对后再给D增元得D+E=K中的E各元都只能“单身”而无“妻”∈G，除非拆散已配对的相应多对“夫妻”（若E的元多于G的元则即使拆散全部已配对的，也不能使E各元都有“妻”∈G。）；表明K至少比G～D多含一元。证毕。
二、0<y<k不一定表示y的变域是（0，k）
由① 0<x<1得② 0<kx>x∈D+[1，k）=V也一目了然地表达V中有数x<<Z的一切元y,表明Z≠V而与D一样都只是V的一小部分。所以：
③ 0<y=x>另一正数x=y/k；而③式中的独立变量y就完全不受任何限制地能在区间V内任意变动取任何正数，即此y所取的正数y无须一定有远比其小的正数x=y/k与之相对应。
任何正数y都有对应数y/k都可k>1倍于别的正数吗？形如y=k（y/k）=kx>>x>0的数y都至少>一个正数,都有对应正数y/k=x, 将这类数称为B正数。由函数知识，Z包含了V的所有B正数y=kx>x∈D，即V内B正数的全体组成了Z。
定义域为D的f(x)的值域Z=V（B数）（V内所有B数组成的集）才是正确的，去掉“（B数）”就是中学数学重大错误：将V的一小部分：Z，误为V，从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“数学可不受最起码语文、科学常识：部分 x轴的一切正数
若y=kx的定义域为x=y轴的线段D′：0 1（珍珠的直径）则其值域就是相应y=kx轴的线段Z′（地球直径）：0 … k。以上表明Z′根本不同于x=y轴的线段V′：0 … k。缘于它们的组成成员不同：V′的元是点x而Z′的元却是点kx。[5]提出了y=f（x）数轴概念：x=y轴的各个点均由x变换为点y=2x，x轴就变换为以点y（x）为元的y（x）轴。
几百年解析几何一直将y=x轴与人们未知的y=2x轴等数轴混为一谈，就搞错了变量的变域。使康脱推出极荒唐病态理论：x=y轴的线段V′可～它的一小部分D′。
起码数学常识：说y=kx>x>0中的x可一个不漏地遍取书上 x轴的一切正数，显然就是说代表正数的y可一个不漏地遍比x轴的一切数都大，即说相应y=kx轴有正数y>x轴的一切数。
足球体积x+地球体积kx≈0+kx。A式
（y=kx）+x≈kx+0>>x（x轴的的任何正数）
中可→∞的x>0与kx相比总等价于足球与地球相比，此x→∞相比下实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略，表明其变域：x轴的正半轴Ｒ＋的各数x<<kx相比下全都是距0太近从而可视其为0而忽略的极小正数——表明Ｒ＋绝不可包含全部正数而只能含一小部分！
数学否定客观存在的“特异”数轴犹如医学否认客观存在的非典病毒——是致命错误。
花钱学习的亿万学生是消费者。故若消费者委员会对数学课本及教学是否有误人子弟的重大错误袖手旁观，就是极其重大的失职。
参考文献
[1]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形
——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267.
[2]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由——试议著名数学
家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]黄小宁，50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数，科技信息[J]，2007（36）:31.
[4]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，
科学咨询，2007年10月第2期：29。
[5]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
电联:13178840497
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
[Reply]
有理数的可数未必真的需要一个通式，事实上他只要能生成所有的有理数就可以了（即使有重复）
（我刚大一，很多东西还远没学，这只是我自己的理解）
[Reply]
不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
【摘要】可数集的各元都必可有自然数“配偶”这一特点使自识正整数5千年来一直“深埋地下”的最大自然数及无穷多无穷大自然数一下子“破土而出”。从而推翻“标准实数完备”论揭示已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球！这使大、中、小学课本有一系列重大错误：将部分误为全部（继而推出极荒唐“部分可=全部”）；误以为“各无穷级数都必无末项”使级数论有常识性与概念性错误而一直误以为证明了无限循环小数（例如0.99…）是有理数；…。
[关键词]最大自然数；标准及非标准无穷数；假自然数集；推翻百年自然数公理和集论；级数论；变量的变域；0.99…<1
一、导言：太伟大的实践远远走在理论前面2千多年
“数学是研究无穷的学科。”标准分析之前2千多年的数学一直使用无穷数进行推理计算并取得了一系列伟大成就，只不过对这类举足轻重的“更无理”数一直无力实现由感性认识跃升到理性认识罢了；本文表明实现此飞跃破解由“错误的无穷数概念”竟能推出许多正确结果这一“神秘”之谜竟须历时2千多年！太伟大的实践往往远远走在理论前面2千多年。故“数学的前进主要是由那些具有超常直觉的人们推动的，而不是由那些长于做出严格证明的人们[1]。”当理论与伟大实践严重不符时恰恰表明理论有重大缺陷，而不能由理论来否定无穷数及行之极有效的无穷小数分析法（以下简为：w法）。若无穷数不存在，w法就不堪一击而绝对不可2千多年不倒。“‘真人不露相’，数学大厦有‘不露相’的骨干数。没有包在墙内的钢筋铁骨的大厦，越建得高就越不堪一击[2]。”本文表明否定这类数是百年重大冤案。
莱布尼茨以超常的直觉承认与使用<任何有穷正数的无穷小正数，建立了微积分。但缺乏超常直觉的后来者错误地认为使用无穷数是非法的，须以极限法来取代w法。然而[2]指出5千年来一直不识无穷大自然数等，使极限论有百年糊涂话。最关键要弄清j式
0＜ρ=1/n＜任意给定的正数ε
中的ε是在哪一范围内任意给定的数？是否能在所有正数中任意给定？能由此ε代表的数的全体能否包含一切正数？（课本断定“不论怎样小的正数”都能由此ε代表）这是一不通则百不通的最关键问题。不能说清，就表明极限论是含混不清的理论——这是其诲涩难懂、极难学难教严重拖了学生学习物理等相关学科的后腿的真正原因。因正常人都有天生拒绝接受自相矛盾的“高深”学说的本能。当然，应试教育会使人不正常。
j式明明表示代表正数的ρ可＜ε，然而极限论又断定无正数能＜ε。“除0以外的定数都不能是无穷小”非常隐蔽地变相否定有正数能＜ε，以使人们不易察觉极限论的自相矛盾性。鲜明对比的是“莱布尼茨的无穷小概念，即所谓≠0却<任意一个给定值的数。”（[1]书145页）表明莱大师敏锐地不否定有正数＜ε而使w法不是自相矛盾的。
起码常识：说对于在一范围F内任意给定的数ε（可代表F的任何数）必有ρ<ε就是说ρ必可<F的一切数。
[3]书在“一、序列极限的精确描述”中说j式表示ρ“可以变得比任何一个固定的正数小”（100页）。而正数集的元都是固定正数。“∣a–b∣=… 0的任意性知a–b=0”（李成章等，数学分析（2版）上册，科学出版社，2004.7：25）显然断定式中2ε可在所有正数中任意取值,从而推断只取一数的∣a–b∣可<一切正数。同样，说变量ρ<任意正数ε就是说ρ必可<一切正数而取非正数。于是j式就是一目了然的百年糊涂话：只取正数的ρ<ε可V的一切n——推翻了自识正整数多得写不完的5千年来一直举世公认的“无自然数能>V的一切n”，证明V只是N的一部分！将部分误为全部就出现违反语文常识的病态认识：“部分可=全部”（此“高论”使数学远离现实与群众而孤立自己）。显然若m-1∈V则其就是V的最大元!其与0之间的自然数多得写不完，正如1与2之间的实数多得写不完一样。
极显然：在N的2n+2都有配偶n∈V时,N的奇数都无配偶n∈V，除非拆散已配对的全部“夫妻”——充分说明V不可～N（否认此事实者连“一一配对”这一常识性概念都还未弄懂）从而更≠N!故课本将不可～N的似是N而非N的假N：V，误为N，是将N的部分误为全部的重大错误。
[5]证明了h定理1：对等的两无穷集F～G的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
定义域为D=（0，1）的y=10x的值域Z=（0，10）=D+[1，10）=K吗？D各元x>0均由x变换为y=10x就得以y为元的Z～D。据h定理1,Z～D不可～D的真扩集KÉD,从而更≠K! 故中学数学认定“Z=K”是将K的一部分：Z误为K的重大根本错误！关键是Z的各元y=10x的对应数x的全体组成的集是D而不能是KÉD！Z～Z不能说明Z～K，因两者的组成成员不同：Z的元是10x,而K的元却是x。
数列W的所有数的倒数组成各项都是无穷小正数的无穷数列。记1/∞1=p，p的n>1次方pn是关于p的n级无穷小正数，一级小穷小数p比pn大无穷大倍，…。长为1/∞1的线段放大∞1倍就成为长为1的有穷短线段。任何有穷小正数都不能定量描述无穷短线段的短的程度。“微分三角形”的各边都是无穷短线段。
0＜△x＜任何有穷正数ε（凡有穷正数都可由其代表）中的△x是正无穷小变数＜ε，其所取的数△x都是无穷小正数＜ε。注！去掉“有穷”二字就是病句。若△y/△x=有穷变数c+无穷小或0则△y与△x是同级无穷小变数。
由上可见任何已知实数x均有无穷多与之无限逼近而又不重合的用而不知的“特异”无穷数x±△x（正无穷小△x＜ε可取一切低、高级无穷小正数）。故已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球！没受到以球为宇重大错误误导的小孩能一眼看出无穷数0.99…<1。受错误知识严重伤害的“大人”的知识水平远不如“皇帝新装”中的小孩啊！
显然以球为宇、以井代天的数学对数的认识有极其重大的缺陷与错误。于是就出现“分球怪论”“部分可=全部”等形形色色不合科学常理的怪论。无怪乎著名数学史家M•克莱因感慨道；“数学中没有真理”“数学家们正冒着传播谬误的危险，因为不定什么时候就会冒出一个矛盾。…，而且矛盾又不能消除，那么全部数学都会变得毫无意义。”“与科学完全无关的纯数学…”（[1]书89、269、287页）。这就必然使课本有一系列本文无法一一列出的重大根本错误。否则就极不正常了。
据特点T，N的各非0元n+1都配上自然数配偶n（所有配偶n=0，1，2，3，…组成U）的同时N的0也必可配有自然数配偶t。极显然：t不∈U是最大自然数！——推翻自然数公理和集论立论的论据：N各元n都有对应n+1、2n、…∈N。t+1等是超自然数.可见N有t+1个元，给N增n个元所得的集就有t+1+n个元。
故课本的“定义域为N的无穷多函数y（n）=n+k（k=2，3，…）及=kn，…所能取的值y都∈N”是重大错误。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
显然t+1个元的集才～N。若将级数A的项都用正自然数来标记：项1，项2，项3，…就用光一切正自然数了，则其有t个项。
四、无限循环小数是异于任何已知数的无穷数——级数论有概念性错误
革命推论c：∑1增1个项得1+∑1就比前∑1多1个项。故同样是级数，此级数的项可多于彼级数的项。
显然m=∞1是有m个项的发散级数∑1的所有项的和。关键是级数的部分和的极限与其所有项的和是两个根本不同的概念，混为一谈是概念性错误。有数学家说: 搞错概念,脑子会变成一团浆糊。
据推论c课本“各无穷级数、数列都有可数无穷多个项。”是重大错误。[7][8]证明了各级数都有末项。
故x=0.99…<1应表示一类而非一数，1=x+△x中的△x≠0是一类无穷小数，说△x=0是削足适履。m=∞1个项的x<m+1个项的x<m+2个项的x<…<1。…。不少小学生均能正确地察觉到形如此x的数无限逼近1但≠1。然而老师们却扼杀学生们的正常思维能力。其实级数0.9+0.09+0.009+…+…的部分和的极限1与级数的所有项的和x<1是两个根本不同的概念。同样，0.33…<1/3；…。
五、据最起码科学常识C，无穷和h=1+1+1+…是无穷大数——级数论有常识性错误
定义:可表为2的和的数称为偶数,可表为偶数与1的和或差的数是奇数.可见任何级数不是有偶数个项就是有奇数个项。
起码常识；数列的每一数都是数列的项，不论其是否被括在括号内。有无穷多双项的发散级数w=∑（a2n-1+a2n）=（a1+a2）+（a3+a4）+…=（1-1）+（1-1）+… =∑（1-1）=0和相应｛（1，-1），（1，-1），…｝的各项都≠0。｛1-1，1-1，…｝的各项都=0，所有项的和∑0=0。给定的w的项的多少是一定的，若将其两项的和作为一项得w′就非原级数w了，虽然它们都表示一个数0。s=∑（bn-bn）=∑0=0，但s的各项都≠0时，可发散的s与必收敛的∑0是2个根本不同的级数！故书上削足适履地将各项都非0的w=0说成是各项都=0的∑0是常识性错误。显然w+1不是有无穷多双项而是有：无穷多双又+1项。
极显然的客观事实C：若级数的每一项都只有一个它的相反数项同在和式中与之对应（此项与彼项对应就不可与别的项对应了），则和式不论是否发散、不论如何改变运算次序都必=0。
级数w是否=0完全取决于和式中的1与-1是否一样多，而与某极限是否存在完全无关，而去掉式中的括号对“一样多”没有任何影响（课本否定此论断，是违反事实C而导致的常识性错误。）。但是级数论断定发散级数w不能表示一个数0——表明级数论有几百年违反事实C的常识性错误！原因是一直误以为“w也可写为w=1+（-1+1）+（-1+1）+…=1，故其不能表示一个数。”以上革命发现表明:w有偶数2n个项而有n对项；而“w”=1+∑（-1+1）=1有奇数个项而根本不可加括号为∑（1-1），即w根本不可写为“w”！
显然∑an的各项都乘以-1就得与其同样多项的-∑an。若{an}的项与{-an}的项一样多则两数列可合并为{（an，-an）}的所有项的和∑（an-an）=0，不论其是否发散。
由级数来源于数列知∑（an+bn）就是表示由两不论是否发散的相应级数∑an、∑bn逐项相加而成的级数。没有文献说两发散级数不可逐项相加。恰恰相反，张宗达主编《工科数学分析(第3版)(下册)》165页:两发散级数逐项相加(减)的级数不一定发散,例如-1+1-1+1-…与1-1+1-1+…都发散,但两者逐项相加得∑（1-1）=∑0却是收敛的.(高等教育出版社，2008)。
应试教育和“尽信书”会使人丧失正常思维能力。例如小学生都知∑a=a+a+a+…的各项都-a就得∑a–本身∑a=0啊！然而不少人却不是以活生生事实为准而推断书本有常识性错误，反而以死的书本为准而否认此事实。“顶峰论”与“科学终结”论扼杀科学的飞跃发展。显然可证：
h定理2：若∑un和∑vn的各项可一一配对：un←→vn则两级数可逐项相加得∑（un+vn），即∑un+∑vn =∑（un+vn）的充要条件是∑un的项与∑vn的项一样多；而∑（un+vn）必=相应的∑un+∑vn 。
据此定理任何级数∑an-本身∑an=∑（an-an）=0。因为无意义的符号是没有减法运算的，故此等式表明任何级数都是数！[4]文第7节：在数学中若a不是数而是无意义的符号，就不可有a-a=0——据此最起码科学常识C，无穷和h=1+1+1+…与同样多个-1的和j=-h的代数和h-h=0=（h+j）显示h与j都是数！可见级数论否定h是数，是违反最起码科学常识C的常识性错误。常识C表明丢掉无穷数与丢掉无理数一样都使数学自相矛盾。
六、结语：
真正的教师都不能只会照本宣科当传声筒，不能惟书、惟上、不惟实；否则就会以讹传讹误人子弟。
“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！
深入才能浅出，浅入就只能深出。对数的认识的惊人浅薄必使人化简为繁、化清为浊。“大道至简至易。”自相矛盾的小道至繁至难，使人花大量的时间与精力还是不知其所云，严重阻碍科技人员迅速掌握数学这一极有力的工具。光是砍掉一个集论与为无穷数平反，相关学生的学习负担就能一下子大大减轻。革命更能使数学是朴实的科学真理从而能缩短学制，大大节省学费和时间。
参考文献
[1]M•克莱因著、李宏魁译，数学：确定性的丧失[M]，长沙：湖南科技出版社，1999.4:323。
[2]黄小宁，再论极限论总难学难教的真正原因：有自相矛盾的百年糊涂话[J]，科技信息，2008（1）：29。
[3]北京大学数学力学系高等数学教材编写组，常微分方程与无穷级数[M]，北京：人民教育出版社，1978。
[4]黄小宁,50字纠正五千年重大错误：任何自然数n<自然数n+1——续50字推翻五千年科学“常识”：无最大自然数[J]，科技信息（学术版），2008（21）：46。
[5]黄小宁，极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）。
[6]黄小宁，百年集论使人犯极荒唐常识错误：0-1010=0——再论形如{1，2，3，…，n，…}一般都有末项[J]，科技信息，2009（1）。
[7]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[8]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267.
[9]黄小宁，再论小学生察觉出小学数学中的常识性错误[J]，教育前沿，2007（12）：110。
[10]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[11][12]黄小宁，极浅显常识暴露数学课本有以球为宇的极重大根本错误；极浅显常识凸显数学教育有极重大自相矛盾；见：中国教育创新教师论坛[C]，北京：人民日报出版社，2003.9：367—369。
[13]黄小宁，教科书有一系列不堪一击的极重大致命错误——书上各取正数的无穷大均相比下≈定量0，见：中国学校教育研究•数学•计算机卷[C]，北京：中国民主法制出版社，2004.3:8。
[Reply]
中学数学课本有违反起码数学常识的重大错误
——兼论诺贝尔奖与我们无缘的重要原因
黄小宁
通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631
凡可表为亿亿个正数x的和的数100…0x都有相比下是“天文数字”的性质。凡可亿亿倍于其子部的直线段相比下全都是极长线段，其两端点相比下均相距极远。最起码数学常识：若数集Z内一个不漏的每一数y = 100…0x>>x>0分别亿亿倍于别的正数x从而相比下全都是>>0的极大正数，则Z远不可包含全部正数！凡违反此起码数学、逻辑学常识的“理论”必是重大错误。
定义域为D=（0，1）的y=100…0x=kx的值域Z真的=（0，k）=D+[1，k）=V吗？
D有性质：无正数0扩大为y=kx>>x>0得以y为元的Z～D显然就不再有D的这一性质而必有正数>x>0——意味D内必有距0充分近的正数xx∈D”也一目了然地直接表达D中有数x0可一个不漏地遍比Z的一切数都小。
故中学的“Z=V”是将两异集误为同一集的重大根本错误！建立在此定论之上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
变域是变量所有能取的数组成的集。搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
y=100…0x>0的变域B内一个不漏的每一数y=100…0x>>x>0分别亿亿倍于别的正数x，相比下全是极大正数，虽然正实变量y可→0。由此可知必有B外的“更无理”正数<>x>0的定义域A=书上 x轴的正半轴Ｒ＋内个个x>0都作同一性质的重大改变：由x扩大亿亿倍为100…0x=y形成以y为元的B就极显然不能还是原集A了，两集有重大区别，连A≈B也远谈不上。否则，何来一个不漏地“全都变大亿亿倍”？鲜明对比的是A内x都作同一性质的几乎无改变的改变：由x扩大为1.00…01x=y≈x形成以y为元的Z′虽不能还是原集A，但却几乎还是A。
可见中学断定：A=B且都包含一切正数，即断定y(x)及其中的x都可一个不漏地遍取一切正数，是违反上述起码数学、逻辑学常识的重大错误！详论见[1]。
0_y1_____________________________________________________________________…____y2___y轴→
如上图，y轴上亿亿倍于y1=x>0的动点y2=100…0x在由大到小取值的整个变化过程中总与相应的动点y1=x大小极悬殊。这非常形象直观地显示y2=100…0x→0也有相比下总距0极远的另一面！数学极不发达期，0←y>>x>0中y→0的一面掩盖了其有被限制于相比下总>>x>0的总距0极远的另一面；从而使人不知其远不可遍取（0，1）内一切正数。无穷小y1始终都不≈y2的唯一原因是两点间的无穷小距离ρ= | y1－y2|=100…0x-x≈100…0x>>x>0所取之值相比下全是距0极远从而不可视其为0而忽略的>>0的“天文数字”。
周光召精辟指出：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”（南方周末报，2007.12.6，A8）科学革命的特征就是推翻举世公认的“真理”。 诺贝尔奖与我们无缘的重要原因之一：中国学生缺乏敢于独立思考不迷信盲从举世公认的权威定论的大无畏精神（应试教育及学阀现象扼杀这种最宝贵精神）。
周光召预见（http://forum.home.news.cn/detail/73131372/1.html）：在中国本土上第一个获得诺贝尔奖的人，一定是一个在自由自在地做深入研究的民间科技工作者。在主流科学家不赞成的情况下,提出自己的看法，坚持自己的看法，并不断用科学方法加以验证,……而且要准备有一段时间坐冷板凳，或者是受到各种批评。
参考文献
[1]黄小宁 凭傻瓜数学获重大发现：有正数x≠100…0（x/100…0）[J]，科学咨询，2007年8月第4期。
[2]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）。
[3]黄小宁，不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误[J]，科技信息，2009（32）.
电联:13178840497
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
[Reply]
再论推翻百年集论的真扩集定理（又改进稿）
黄小宁（广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]提出数容器概念从而非常形象直观地揭示x轴的线段所包含的点必多于其任何一部分的点。中学数学有将两异集误为同一集的重大错误。几百年解析几何一直将y=x轴与人们未知的y=2x轴等无穷多各根本不同的数轴误为同一轴。从而使康脱脱离健康地推出极荒唐“部分可=全部”的“革命发现”。
[关键词]推翻集合论；无穷大自然数；数（点）容器；前所未知的数轴；搞错变量的变域；保序变换
化学曾被错误的燃素说统治百年，数学也被极荒唐的集论统治百年。
一、提出数容器概念推翻百年集论及发现革命数
无穷集C～D而不～E的原因是C与D分别包含同样多元素而至少比E多或少含一个元，称D与C等容（两集容量相等）。两集不对等即不等容就更谈不上相等。
如[1]所述，设有专门容纳数（点）集的容器，可简称为容，如集合可简称为集一样。各非空集G都充满在相应的容器G内。如装水分子集的容器必占宇宙的一定空间一样，任何非空数（点）集的容器必占数（点）宇宙的一定空间。各容器的大小是固定的。
其实，数轴由容纳点的容器（即空间位置）与器内点两部分组成，去掉点就剩下位置容器。
容器D容纳不下比集D多元素的集。P＝｛0，1，2｝，容P容纳不下4个数的集。显然有革命事实：容D的容量=集D的容量。极显然：任何无穷集D的任何一部分d都不可占满容D（挖去集D的一部分，剩下的不可充满容D）——一目了然地表明D的容量必>d的容量——百多字推翻了百多年“人类最伟大创造之一”（胡作玄，引起纷争的金苹果，福建教育出版社，1993.12：27）的集论！相应有由长度为1的点组成的自然数轴：
◎①②③④…→N轴
其中只装一数的数容○是N轴容器的元。去掉N轴全部偶数2n>n=1，2，…（所有n组成Q）得◎①○③○…，显然因自然数集N的全部偶数不可充满容器N，故Q={1，2，…，n，…}也不可充满N轴——石破天惊地表明Q不是正自然数集N+而只是其一部分！昭示Q外还有无穷多无穷大自然数！且其可与N的奇数一一配对。自识自然数多得写不完的5千年来一直无人认识此类革命数使康脱康健离脱误入百年歧途推出：N的真子集可～N。
两不交且非空的无穷集U、V的并记为U+V。U增一元a得其真扩集K=U+｛a｝就比U多了个U所没有的数a。显然U容容不下K集——表明K的元必多于U的元。这一目了然地表明有[2]中的
h定理1（真扩集定理）：任何可有真扩集的非空集G的容量必0变为 y=10x得以y为元的Z～D，D
内有多少个x，Z内也有多少个y。故容Z=容D（两容器的大小相等）。
定义域为D=（0，1）的y=10x的值域Z～D真的=（0，10）=D+[1，10）=K吗？
Z～D只能布满容D而不可布满容K——石破天惊地表明容K>容Z=容D——非常形象直观地表明Z～D 与D一样都只是K的一小部分！
据h定理1Z～D不可～D的真扩集KÉD从而更≠K!
故中学“Z=K”（及“Q=N+”）是将两异集误为同一集。
形如y=10（y/10）=10x>x>0的数y都有对应正数y/10=x,称这类数为般正数。K内形如y=10x>x∈D的正数
y的全体组成了Z即K内全部般数组成Z。
Z=K（般数）（K内所有般数组成的集）才是正确的，去掉“（般数）”就是中学重大错误：将K的一小部分：Z，
误为K。使康脱推出…。真正建立在此重大错误上的理论
必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误
的泥坑里越陷越深以致无力自拔。搞错变量的变域是导
致全盘皆错的最重大根本错误。
关键是“Z一切元y=10x>10x/10∈DÌK”正确，而“K一切元x>x/10∈DÌK”是病句：K有数x/100的变域E各数x（设其都有对应数10x或x/10）均保序变换为f（x）=10x或x/10得f（E）=F，h定理2表明中学“E=10x或x/10的变域F”等等是重大错误。
如[3]所述，x轴A各点均由x变为点y=x，x轴就变换为以点y=x为元的y=x轴点集B=A；A各点均由x保序变换为点y=10x，A就变换为以点y=10x为元的y=10x轴点集C。据h定理2，C≠A，因为x=10x（x的同序数）不可恒成立。
故x轴的线段h：0 1（珍珠直径）各点均由x变为点y=10…0x=kx得以点y为元的y=kx轴的L：
0 … k（地球直径）～h
，≠h～y=x轴的L′：0 … k，且显然～h 的L的元10…0x不可与L′的元x一一配对表明L≠L′！缘于它们的组成成员不同：y=x轴的元是点x而y=kx轴的元却是点10…0x，正如铜线与铁线根本不同一样。最关键是[4]指出：点集与数集有根本区别，点集中的“点”有大小且有大点与小点之分。
如[3]所述，几百年解析几何一直将y=x数轴与人们未知的y=2x轴、y=x/2轴、…等无穷多各不同的数轴误为同一轴：y=x轴，就搞错了变量的变域，使康脱推出病态的：x=y轴的线段可～它的一小部分。
三、结语
在一片叫好声中，1908年著名数学和物理学家庞加莱超越时代地清醒坚信：不合实际违反科学常识的集论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认“真理”的回天力。这不能不令人感叹庞是智慧超群的天才大师！
“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！
参考文献
[1]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年10月第2期：29。
[2]黄小宁，百年集论确是“疾病”之理由[J]，科学中国人，
2009（4）。
[3]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[4]黄小宁 一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、
破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[5]黄小宁，凭傻瓜数学获重大发现：有正数x≠100…0（x/100…0）[J]，科学咨询，2007年8月第4期。
电联:13178840497
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
[Reply]
老师，我实在是走投无路了。。。也不知道能不能请教你一个非常简单的问题。。。
为什么对函数f1(x)=1/x和函数f2(x)=1/x^2几乎函数图像相同的2个函数，相对于同一区间[1，+无穷)，f1不可积，而f2可积？？？？
2个函数的图像几乎一样，取值范围完全相同，就因为其不定积分的原函数不同，就下结论f1不可积，而f2可积么？？
怎么也想不通。。。
[Reply]
中学极显然重大错误：将两异集误为同一集
——再论实数与已知实数轴的点远不可一一对应
（发表在《科技信息》2010/7）
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 邮编510631）
[摘要]“一一配对”常识反复证明：存在用而不知的最大自然数和无穷大自然数，此无穷序列{n}的项可多（少）于彼{n}的项。非常形象直观地揭示中学数学有一系列搞错了变量的变域的重大错误。几百年解析几何一直将y=x轴与人们未知的y=2x轴等无穷多各根本不同的数轴误为同一轴。从而使康脱推出极荒唐“革命发现”：线段所包含的点可与其一部分的点一样多。揭示点集与数集有根本区别，实数与书上实数轴的点远不可一一对应。
[关键词]最大自然数；标准及非标准无穷大数；假自然数列；前所未知的数轴；推翻百年集论；变量的变域；保序变换
世界数学大师欧拉在一片反对声中超越前、后人地“顽固”坚信：任何级数不管是否发散都有一个确定的和或值。（张文修《数林漫步》25页，陕西科技出版社，1984。）显然若欧拉猜想“∑1是一无穷大自然数或超自然数”被证实则是数学发展史上的重大转折与飞跃。
一、居高临下的科学思维方法使数学由几千年“肉眼”阶段一下子质变到“慧眼”阶段
设俯视图1：{①，②，③，…}=A表示一给定的有无穷多双项（一双项组成一组大项）的立体序列由上、下两子序列A1与A2组成，立体自然数都“悬浮”在“围棋白子”○上。类似有B：
{…，⑥，④，②，①，③，⑤，…}
的左（右）半边的数是偶（奇）数。A（B）的所有数组成正自然数集N+。A中正自然数列A1的下面是棋子○序列A2={○}～N+（表示A2的○可与N+的数一一配对）。
肉眼不能将A的项都看到，但人有逻辑推理能力，慧眼能洞察A的所有项是否都有“配偶”而不被目光太短浅而无力认识与把握“无穷”的肉眼所骗。肉眼不能察觉此桶水仅比那桶水多一个水分子，但慧眼能洞察此无穷集{n}比那{n}多（少）含一个数。注！符合实际的思想才能产生慧眼，否则产生傻眼陷入“不可知论”“科学终结论”泥坑。
A的各数都由n变为n+1后再增添新首项1得图2：
{1，②，③，④，…}（1下无○）=M
M各数与A2的○不可一一配对而总有一数下无○，表明M中：数比（A2～N+中的）○多一个——意味M比N+～A2多包含一个数——意味M中有超自然数>一切自然数！可见形如{1，2，…，n，…}的集不一定是N+！即存在似是而非的假N+！小学生也能看图1识“字”：
在A中：单独粉碎（增添）n个数后立刻就有n个○上（数下）没数（○）与之配对，不论怎样重新配对。原因是A比原来少（多）了n个数，即上下两序列的任一列一旦单独增减项就必打破原来数与○一样多的格局。故图1显示有
h定理1：任何序列与级数增（减）n个项后必比原来多（少）n个项。
[1]证明了 h定理2：对等的两无穷集F～G的任一集增（减）元后就再也不能～另一集了。
故此{n}的项可多（少）于彼{n}的项。自识自然数多得写不完的5千年来一直无人认识此革命真象使康脱误入百年歧途。
图2的M各数都不动而各○都左移一个位置得{①，②，③，…}，“肉眼”就以为其中的数与○一样多。殊不知在无穷远处必有一数下无○。A的项也作此变动得{○，①，②，③，…}——百年假象：部分
○可与全部数一一配对。希尔伯特：数学是研究无穷的科学。然而几千年“肉眼”阶段的数学恰恰对无穷的认识太幼稚片面而一直被其表面假象所迷惑。
符合实际的思想：不增减项的序列各项不论如何
改变位置都不能改变项的多少。显然有换偶原理：已一一配对的无穷多对“夫妻”之间互相任意“换7”必还是可一一配对。这是起码逻辑学常识。
故凡～N+的集G的元都必可有“配偶”∈N+，一个不漏！故G=N+～N+的各非1元n+1都有配偶n∈N+（所有配偶n=1，2，…组成U）的同时G的1元也必可有配偶t∈N+。极显然：t是U外的最大自然数！t+1是超自然数。同理在以下两都是N+（～N+的上N+的元都有自然数配偶）的
{…，3，1，（2，4，…，2n，…}
{…，a2，a1，（1，2，…，n，…}
中，一目了然：下N+小括号左边的数都是无穷大自然数>右边的一切n。详论见[2]。
以上居高临下俯瞰全局的科学思维“解毒药”使在康脱康健离脱的病态“乐园”内陶醉了百年的数学一下子清醒过来：化学曾被错误燃素说统治百年，数学也被极荒唐的集论统治百年。
二、提出数容器概念推翻百年集论及发现革命数——
有正实数>（d的容量——百多字推翻了百多年“人类最伟大创造之一”（胡作玄《引起纷争的金苹果》27页，福建教育出版社，1993.）的集论！相应有由长度为1的点组成的自然数轴：
◎①②③④…→N轴
其中只装一数的数容○是N轴容器的元。去掉N轴全部偶数2n>n=1，2，…（所有n组成Q）得◎①○③○…，显然因自然数集N的全部偶数不可充满容器N，故Q={1，2，…，n，…}也不可充满N轴——石破天惊地表明Q不是正自然数集N+而只是其一部分！昭示Q外还有无穷多无穷大自然数！且其可与N的奇数一一配对。自识自然数5千年来一直无人认识此类革命数使康脱推出：N的真子集可～N。
两不交且非空的无穷集U、V的并记为U+V。U增一元a得其真扩集K=U+｛a｝就比U多了个U所没有的数a。显然U容容不下K集——表明K的元必多于U的元。这一目了然地表明有[4]中的
h定理3（真扩集定理）：任何可有真扩集的非空集G的容量必0都有对应y>x，则所有y组成的B不可包含A而必至少有一x∈Ax∈A一目了然地直接表达A中有数x<B的一切元y。“对于B的每一元y（x）都有A 的x<y”显然表示A中有数x<B的每一元y。证毕。
同理“对于书上x轴的一切正数x都有对应实数x/2<x”显然表示有正实数x/2x” 显然表示有正实数2x>x轴的一切正数x！
定义域为D=（0，1）的y=10x的值域Z真的=（0，10）=D+[1，10）=K吗？
D各元均由x>0变为 y=10x得以y为元的Z～D，D
内有多少个x，Z内也有多少个y。故容Z=容D（两容器的大小相等）。⑴据h定理2,Z～D不可～D的真扩集KÉD从而更≠K!（K中：D的元与Z～D的元一一配对后，K-D的元x都不可有配偶∈Z，缘于K的元x多于Z的元10x）⑵据h定理4,Z不可包含K 的一部分D表明Z≠K! ⑶Z～D只能布满容D而不可布满容K——石破天惊地表明容K>容Z=容D——非常形象直观地表明Z～D 与D一样都只是K的一小部分！
关键是“Z一切元y=10x>y/10∈DÌK”正确，而“K一切元x>x/10∈DÌK”是病句：K有数x/10x>0的数y都有对应正数y/10=x,称这类数为般正数。K内形如y=10x>x∈D的正数y的全体组成了Z即K内全部般数组成Z。
Z=K（般数）（K内所有般数组成的集）才是正确的，
去掉“（般数）”就是中学重大错误：将K的一小部分：Z，误为K。使康脱推出…。真正建立在此重大错误上的理论必是错上加错的更重大错误。不及时纠正会使人在错误的泥坑里越陷越深以致无力自拔。
“笔下线段不断变长就是可变点集包含的点不断增多。” 非常形象直观地…。数学返朴归真的意义极其重大。
三、y=x轴与y=2x轴、y=x/2轴、…等无穷多各根本不同的数轴不可误为同一轴：y=x轴
同序数概念：数轴A的各数x在轴内分别都有一定的大小“名次”。 A各数均由x保序变换为y=g（x）（变量y是增函数）就得A的保序变换集B=g（A），x∈A在A中的大小名次与g（x）∈B在B中的大小名次是一样的，称y与x互为同序数。据有序数集E的特点：若E=H则其各元必可由小到大一一对应相等，显然有
h定理5：有序集A保序变换为B=g（A）～A，A=B的充要条件是恒有x=g（x）（凡同序数必相等）。
x>0的变域E各数x（设都有对应数10x或x/10）
均保序变换为f（x）=10x或x/10得f（E）=F，h定
理5表明中学的“E=10x或x/10的变域F”等等是重大错误。
如[5]所述，x轴A各点均由x变为点y=x，x轴就变换为以点y=x为元的y=x轴点集B=A；A各点均由x保序变换为点y=10x，A就变换为以点y=10x为元的y=10x轴点集C。据h定理5，C≠A，因为x=10x（x的同序数）不可恒成立；且据h定理4A有正数x0与u=2x轴的元2x根本不可上下一一对应相等使两轴根本不可相等。
四、结语
如[7]所述，在一片叫好声中，1908年著名数学和
物理学家庞加莱超越时代地清醒坚信：不合实际违反科学常识的集论必是危害科学的病态理论——即使整整一代人都没有推翻此举世公认“真理”的回天力。这不能不令人感叹庞是智慧超群的天才大师！
“时间就是金钱，…”百年集论百年来浪费了多少亿人的多少时间与精力啊！造成多少亿元的损失？更要命的是它的重大误导作用！
参考文献
[1]黄小宁，极显然：自然数集增或减一元就变为非可数集了——中学重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2009（26）；
[2]黄小宁，不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误[J]，科技信息，2009（32）.
[3]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年10月第2期：29。
[4]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由——试议著名数学家庞加莱百年前的预见[J]，科学中国人，2009（4）；
[5]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[6]黄小宁，一眼看出有最小、大正数一下子推翻百年集合论、破解2500年芝诺著名世界难题，发明与创新增刊[C]，2006：125。
[7]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267
[8]黄小宁，凭傻瓜数学获重大发现：有正数x≠
100…0（x/100…0）[J]，科学咨询，2007年8月第4期。
电联:13178840497
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
[Reply]
上面的hxl268 你丫有毛病吧 写的些什么垃圾东西啊
[Reply]
发现最小正数推翻百年集论消除2500年芝诺悖论
——中学重大错误：将无穷多各根本不同的点集误为同一集
黄小宁（通讯：广州市华南师大南区9-303 ，邮编510631）
[摘要]证明了：有最小正数；已知实数轴R的点有大小；实数与R的点远不可一一对应。从而推翻了百年集论立论的论据，使2500年芝诺著名运动世界难题迎刃而解。指出线段（0，k）与数集（0，k）有根本区别，数形结合须跃出根本误区。“点无大小”使初等几何有史以来一直误以为形状与大小相同的图形必全等——使中学有一系列搞错了变量的变域的几百年重大错误：将y=x轴与用而不知的y=2x轴等无穷多各根本不同的数轴以及相应的不同平面误为同一轴、平面；…。指出两数轴之间也有全等与非全等的关系且给出了判断其是否全等的方法。
[关键词]最小正数；用而不知的数轴、平面；推翻“点无大小”公理、百年“R完备”定理、百年集论；有序集内从大到小的每一元；图形的相似及全等变换；变量的变域：芝诺悖论
爱因斯坦：提出一个问题往往比解决一个问题更重要。因为…，而提出新的问题、从新的角度去看旧问题，却需有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。由被蒙在鼓里的“没问题”到“有极重大问题”当然是数学认识的飞跃；但目光远大者更关注发现的方法——“渔”。本文改天换地的太重大问题的发现来自于太浅显的集相等的含义：集A=B是说A的元x与B的元y可一一对应相等。故只要懂：函数与集论的基本概念和几何常识：图形的任何变换都是由于组成图的点p都变为新规定的点p′=f（p），就能读懂本文。本文的内容除第5节外基本没超出初等数学范围。
如何定量刻划与描述子弹d射进木柱内后又穿出给木柱钻出了一个洞d′这一事实？设z轴是柱子，那么子弹点d（x，y，z）必先与z轴“接吻”，然后才能进入轴内。然而对这一变化规律，常规数学根本不能定量刻划。点d到z轴的点d′的距离ρ≥0，d进入z轴时ρ=0，但d与轴“接吻”时ρ=？如[1]所述，这说明数学还无法定量描述d的这一空间位置的改变的有序性质。症结就在“点无大小、线无宽度却又能占据空间位置”上。详论见第4节。不能因理论的重大缺陷而否定d的有序变化规律。由大到小取值的ρ≥0不取完变域U的一切正数就绝不能取0，即其必取到无正数可取了，才取0，正如由大到小取值的变域为[-1，1]的x不取0就绝不可取负数一样。不纠正几千年重大错误：U无最小正数，就不能破解2500年芝诺著名运动世界难题。不能真正用数表达运动的相关学科还处于不知其所以然的唯象论阶段。
1.要注意此x>0与彼x>0有根本区别——可视其为0而忽略的x可取一切正数？
说y=2x>x>x/2>0中的y与x都可一个不漏地遍取所有正数就是说x/2>0和x都可一个不漏地遍比所有正数y都小而取非正数——重大错误。否定此事实者暴露其缺乏起码语文与数学常识。y>x中的y的取数范围是受关系式制约的，y可取一切正数的必要条件是x可<一切正数而取非正数。正如0<yx表达对于x的变域X的一切数x都有y>x，以及对于y的变域Y的一切数y都有xx中的y可一个不漏地遍取Y的一切数y使代表数的x必可一个不漏地遍比Y的一切y都小而代表（取）Y外的数。代数常识：若代数式y>x中的y代表任何正数则此式所代表的内容之一：有数x0中的x可取所有正数即任何正数都可由此x代表，问题是y2 =2x>x>0与y3 =x/20中的x可=y1吗？h常识1表明y3 中的x不可取所有正数。关键：y3的x被限制是y3的反函数使其所取的数x都须有别的数x/2与之对应，而独立变量y1=x就不受此约束即其无须与别的变量如x/k（k>1）有函数关系。同理y2 中的x也不可取所有正数。否则就出现重大病句！
学风不正的竞分数而弃实学者无力认识最起码常识：“对于一切（任何）正数x都有0<x”表示0可0可>x>0
中与1010x相比实在是总距0太近了以致于可视其为0而忽略不计的x>0可遍取一切正数即断定y的定义域包含一切正数。
设BЭy表示：B的一切（每一）元y，y的变域是B。由上得
h定理1：元为x>0的V+不可既含全部正数而又有V+Эx>x/k>0。
2.极浅显集相等概念揭示中学极重大错误：搞错了无穷多变量的变域——将革命道理形象直观化
一截橡皮筋（橡皮点的集合） 拉长为 后各个点都变长了，但各点之间的前后顺序关系没任何改变。这可看成是一种有序集的元的保序变换。若有序数集A＝B则显然A的元与B的元必可由小（大）到大（小）一一对应相等。
x数轴A各点均由x变为点y=x，x轴就变换为以点y=x为元的的y=x轴B=A，但A各点x均保序变为点y=kx（k>0）得y=kx轴还=A吗？设想如一硬币叠压在另一硬币上那样，y=x轴B=R的各点y=x都叠压在x轴A=R的点x上，y轴就叠压在x轴上形成一双轴了。上轴点y=x与下轴点x一一对应相等。现上轴的正半轴R+的点y=x全都离开原位置地沿轴正向保序前移至新位置y=kx=x+△x>x>0形成以点y=kx为元的集Z+（此处的点x变为点y只是改变点的位置），R+显然就至少空出一正数位置y=x=a落在一切前移了的正数点的后面——非常形象直观地表明R+至少有一数a0不可一一对应相等。这就将革命的h定理2形象直观了。
h定理2：元为正数的A的元x>0都保序变大为y（x）=x+△x>x（△x=y-x）得以y为元的B必≠A，且A必至少有一元x<B的一切元y；A的元x都保序变小为x+△x0与y=x+△x=x是重合在一起的二变数，现y全都保序变大为y=x+△x>x得B，据保序变换的性质A的各x可与B的各y中的x一一对应相等而不可与y本身一一…使B≠A。同样，A的x都保序变小为y=x+△xx∈A”明确表达：A中有元x0变为kx所得的集可记为kR。因R≠2R≠（1/2）R≠3R≠…，故R×R≠2R×2R≠2R×R≠2R×3R≠（1/2）R×R≠（1/2）R×（1/2）R≠…。故直线y（x）=kx并非R2的子集而是R×kR的子集。
搞错变量的变域是导致全盘皆错的最重大根本错误。
3.此点集（a，b）≠彼点集（a，b）——h常识1推翻百年“R完备”定理
应有关于集合的h常识2：无穷集A若只能～B的一部分就说明B至少比A多含一个元。两集不对等就更谈不上相等。
x轴A与它的象y=kx轴A′是否全等？据全等的含义若A的线段[0，b]不≌（全等于）A′的线段[0，b]就证明A不≌A′，正如若甲人左手≠乙人左手就证明甲、乙不是同一人一样。显然有
h推论2：元为实数点的数轴A的象是B，若A～B且A的原点的象是B的原点，同时A的任一线段（a，b）都≌B的线段（a，b）则A≌B。
点集D=Z就是相应两图形可重合相等使两图的点能一一对应重合相等。可重合的两图形必全等，两图若不全等就更不可重合——此几何常识表明有：
h定理3：若点集D不≌Z就更≠Z。
y=x轴的线段L=（0，10）的一部分D=（0，1）的各点x均保序变为点y=10x得以点y为元的y=10x轴的线段L′=（0，10） ～D。问题是“L=L′”等等是中学重大错误。理由——
因L′～D的元10x不可与L的元x一一配对而只能与～D的集的元一一配对（h问题：谁能在x∈L与10x∈L′之间建立一一对应的关系？），故：①据h常识2，L≠L′。②据全等变换的定义，L′不～L就不可有L′≌L从而更不可有L′=L（h定理3）。缘于它们的组成成员不同：L的元是点x而L′的元却是点10x。且极显然：“对于L′从大到小的每一元y=10x>x∈D都有D的正数x<y”就是说DÌ L有正数x<L′的每一元y。
可见存在用而不知的两直线段：长度相同但“像素”点却不一样多，从而不全等；以为其全等就引发出一连串的重大错误。应有：
逻辑学常识s：因直线段是由各点按一定的排列方式各就各位地分别占据一定位置而形成的，故若点的多少和排列顺序、方式都没改变，点的大小也没改变，就绝不会有图形的形状与大小的改变。
橡皮平面上的数轴是橡皮直线。y=x轴的D“拉长”变换为y=10x轴的L′（L′叠压在y=x轴的L上），点的多少和排列顺序都没改变，据常识s若“点的大小也没改变”就构成尖锐自相矛盾：D的点没发生使D变长的变换却能有D的变长（这犹如说水平面上的车是在重力的作用下前进的那么荒唐）。
h常识1 表明“对于x轴内从大到小的每一正数x都有标准正数y=x/2<x”就是说有标准正数y标准正数x/k=y>0”直接表达有数0<Ｒ＋的所有x，同时也直接表达有“更无理”标准正数yx>0的正凡数y都有性质：在y与0之间至少有一正数x，即正凡数都至少>一个正数。因1以内的正数x都有对应数kx>x，故可设Ⅰ式的x的变域是D=（0，1），以下证明D中有非凡数：
D=（0，1）的元x>0都保序变大为y（x）=kx=x+△x>x∈D 得以y为元的Z～D。Z真的=（0，k>1）=D∪[1，k）=K吗？即定义域为D的y=kx的值域Z=K吗？
①因Z～D不可～K（参见h问题）而只可～K 的一部分：D以及与D～的集，故据关于集的h常识2，K至少比Z多含一个元（故Z～D是K 的真子集）即K必至少有一x=t不能纳入Z内；且由h定理2，DÌK中必至少有一元xx∈D组成了Z，Z外无凡数∈K，故Z外的正数t∈K必是非凡数而不可至少>一个正数, 即其小至无对应正数t/k∈D，显然t就是最小正数0′而在0与0′之间连一个正数也没有！相应的0′/2等都不代表数，无意义，正如当x=0时c/x不能代表数一样。同样，x±0′/2等等都不是数。详论见[3]。
②据h常识1，说Ⅰ式的y>x也可一个不漏地遍取D的所有数，那就是说变域为D的x可一个不漏地遍比D的所有数y都小而取D外数——荒唐！故D内必至少有一此y>x（可取K的所有凡数）不可取的非凡数x=0′。证毕。
故“定义域为（0，1）的y（x）=x/k（k>1）与y=x2等等”是不能成立的。应改为“定义域为数轴的线段（0，1）的y=…”。人们在计算中用的数一般都是凡数，但这≠数学本身没有非凡数，正如谁也不能画出长≠0但又短至＜“任意给定的正数ε”的无穷短线段，≠数轴没有此类直线段一样。由小到大取值且变域为(0,1)的变量若没有第一次的取值就绝不能有以后各次的取值，人类不知其第一次取何数，恰恰表明人对变量变化的规律无力把握。
各正数都能由x代表，但代表正数的x都有对应符号x/k≠各正数x都有对应正数x/k。显然y+0′与数y之间没有数。
上述证明中的“（0，1）”换为“R的线段（0，1）”；“…”换为“R的凡数”；“…”换为“R的正凡数都至少>一正数∈R”等；就有
h定理4：x轴R有最小正数点x=⊕使一切⊕/k（k>1）都不∈R而在R外。相应y=kx（正数k≠1）轴有最小正数点y=k⊕。
将“（0，1）”换为“元为正数的集”，…，可证：
h定理5：元为正数的集V+均有最小元。由此得
h推论3：由非负数组成的集都必有最小正数元。故形如ρ≥0的距离函数ρ的变域必有最小正数元。
可见元为实点的任何y数轴T的各正数y若都有比其小的正数y/k（k>1），则并非所有y/k都能还在T内！R的线段（0，1）各元可排为一有首、末项的无穷数列：⊕,2⊕,…，n⊕，…，1-⊕。故x轴是由长为⊕的点组成的。故集论立论的论据被推翻。若⊕有无穷多对应正数⊕/k（k>1）则⊕及>⊕的正数相比下全都是极大极大正数，故x轴的各点远不可与各实数一一对应。当然，⊕是一切已知正数的无穷大正数，⊕2是关于⊕的二级无穷小正数，…。
⊕=⊕2/⊕=（1/⊕）⊕2是⊕2的1/⊕倍；…；低级无穷小正数无穷大倍于高级无穷小正数，记为
…>>>⊕1/2>>>⊕>>>⊕2>>>…。
⊕具有既小又大的两重性。R的各一般正数点x均有与之最近的同属R的正数点x+⊕，x±⊕/2等等都不∈R。
如[1]所述将⊕放大1/⊕倍，R就是由长度为1的点组成的，2R是由长为2的点组成的，…。紧挨着的两对点：□□ 、◇◇（还可是长方形等等）的点与点间的距离是它们的中心的连线的长。如水是由水分子组成的那样，R由相对于R来说不可再分的“分子”点组成，分子也是无限可分的，即R的点也是无限可分的：其也是无穷多个更小的点的点集，但凡长≠⊕的点都不是R的“分子”。各点的大小、形状都一样的直线等称为单纯点集，否则称为混合点集，正如糖水内既有水分子也有糖分子那样。对数轴的结构的认识限于篇幅这里只能挂一漏万。
几何常识：沿数轴R运动的点由位置b移至a处必遍经两处之间的一切位置之后才能到达a处。不识2处之间的一切位置的坐标数就根本不能真正用数来表达运动。因R是连续的，故沿轴运动的点x从原点o出发→1必首先与o相隔有穷多个点，然后才能与o相隔无穷多个点，数学断定R的任何正数点位置都与o相隔无穷多个点∈R，这显然抹杀了x有序渐变的连续变化的性质。且自然界中既有飞跃性的突变，更有“冰冻三尺非一日之寒”的渐变。“R的任何已知正数点都与o相隔无穷多个点∈R”才是正确的。
5.搞错正负号会造成重大损失——点的坐标数与点本身有根本区别
据h推论3，xy面R2上任何过点(0，0)的连续曲、直线上的点(x ,y)到(0，0)的距离ρi（i=1，2，…）≥0的变域Ui中都必有最小正数元——表明各线都有与(0，0)最近的点(x ,y)。R2的点(x≠0 ,y≠0)到(0，0)的距离的平方是ρ2=x2+y2>0，因|x|、|y|能取的最小值都是⊕，故ρ2能取的最小值=2⊕2。故R2的第一象限内与(0，0)“接吻”的点只能是x=y=⊕，同样，…；故存在(0，0)的最小去心邻域h内只能有8个点！
△z=dz+d2z/2！+d3z/3！+…往往是很复杂函数而不能计算出其精确值。故不懂近似计算就不能了解曲面z在一点邻近的结构与形状。研究z在切平面的上方还是下方对于正确画出z很重要。很复杂函数M=△z-dz>0时z在切面的上方，0、|y|>0都被限制只能取R+内数，z的麦克劳林级数是z本身，曲面z的切平面是z=0x+0y，切点是O（0，0，0））与首项y2>0同号使
（y2-104×4）y2>0………A
在（0，0）的某充分小的（去y=0的点）邻域I内。故满足（y2-104×4）0代入A式则该式不成立说明曲线y2=x4即y=x2的点都不∈I！误以为其有点∈I就会搞错z的正负号而不知曲面z的点O为心的充分小子部的各除y=0的点都在xy面的上方。然而数学断定I必含曲线y=x2>0的点，症结是中学重大错误：断定y=x2中的|x|>0与y都可遍取R的所有正数。
即使是比定量分析低一层次的定性分析也须正确了解函数的正负号，否则连曲面在一点邻近的大致轮廓也搞错了。科学实践中搞错正负号是会造成重大损失的。详论见[4]。
当k是有穷正数时比⊕高级的k2⊕2等都不∈R（R的最小正数是⊕），故当|x|小至=k⊕时y=x2不∈R即I内各点的坐标都不可有关系y=x2∈R。故上述曲线y=x2在x轴R的正投影≠R。同理，|x|∈R+充分小时曲线关系y=x±x2∈R不成立（例如⊕±⊕2不∈R）而代之以直线关系y=x∈R，…。同理在（0，0）的某充分小的去心邻域内能包含过（0，0）的一切直线y=kx的相应子部，却根本不可包含曲线点y=xk（k>1）；…。这揭示有
h推论4：光滑曲线Q的每一元素点p都是与Q切于p的切线的以p为心的相应子部。
一直铁线弯曲为抛物线，显微镜下可知原线某些部分被挤压、某些部分被拉伸了。故抛物线的“像素”点的大小是不尽相同的。“曲线y＝x2的元素点p（0，0）”中的“（0，0）”只是表示点p的空间位置的坐标而非点本身，该点与xy面的元素点（0，0）是有重大区别的，即两点的大小有重大区别。
6.结语
著名科学家周光召：“中国目前最需要的是颠覆性创新。”线的“基本粒子”的发现说明：须重新认识分形几何、重新认识…、…；“数学，尤其是初等数学领域绝对不可有颠覆性创新”“百年数学公理与定理绝不可被推翻”是使数学停滞不前的思想牢笼、是落后的近视观点。“大（小）疑则大（小）进，不疑则不进。”是至理名言啊！高隆昌教授透露有学而思的数学学生经过对书上数轴的深入研究、思考后不禁敏锐地产生大疑：“也许人们所走的数系发展道路错了，才使得如今对无穷小结构、无理数表述、连续统认识等等才如此艰难。…，为此他经常想得头发晕，…[5]”。敢于坚持“科学无禁区”的大无畏精神，破除迷信、解放思想，才能创造世界奇迹使数学有质的飞跃。
参考文献
[1]黄小宁，极浅显常识揭示数学有极重大根本错误——非创立全新数学不可的原因，见：中国学校教育与科研•数学•计算机卷[C]，北京：中国农业科技出版社，2003.5:7。
[2]黄小宁，中学极显然重大错误：将两异集误为同一集[J]，科技信息，2010（7）。
[3]黄小宁，百字推翻五千年数学“常识”：无最小正数[J]，科学咨询，2007年10月第2期：29。
[4]黄小宁，几何常识凸显已知数全体仅为数宇宙的一颗星球[J]，科技信息，2010（11）。
[5]高隆昌，数学及其认识[M]，北京：高等教育出版社，2001.10：135。
[6]黄小宁，再论任何正数集V+均有最小、大正数——推翻百年康脱无穷集论破解2500年芝诺世界难题，见：中国精典文库[C]，北京：中国大地出版社：2004.10:814。
[7]黄小宁，百年集论确是”疾病”之理由[J]，科学中国人，2009（4）。
[8]黄小宁，驱5千年迷雾现统治数学的集论百年病魔原形——破解2500年芝诺著名运动世界难题[J]，今日科苑,2009（16）:267。
电联:13178840497
E-mail：hxl268@163.com（hxl中的l是英文字母）
[Reply]
我来说两句：