在实变函数中，Levi定理，又名Levi单调收敛定理，是说非负可测函数的求极限和积分运算可以交换顺序。具体表述如下：
设和 都是可测集D上的非负可测函数，而且对几乎所有的，单调增加收敛于，则
在周性伟编著的《实变函数》一书中，上述定理的证明思想如下：由于非负可测函数的Lebesgue积分是由单调增加的非负简单函数列的积分的极限来定义的，所以对每一个，都用一列单增非负简单函数列来逼近，设为。然后，按下图所示的方式构造一个新的函数列 ：

即令

这样得到具有两个重要的性质：
(1)单调增加
(2)
在第(2)条性质中，我们先令 ，再令便可得到的极限即为，又根据第(1)条性质，的积分可以用的积分的极限来定义。
这个证明颇具启发性，它的关键在于非负简单函数列的构造。其实，的构造方法并不是唯一的，只要构造出的函数列满足上述两条性质便可。在这里，我们采用如下图所示的构造方式（是否似曾相识？还记得上篇博客中“至多可数个可数集的并是可数集”的证明方法吗？）：

证明：,设的积分由单调增加的非负简单函数列定义。现令


…

则为非负简单函数，且满足
(1)单调增加
(2)
由(2)，得
(3)

在(2),(3)中，令(则 )，得到
(4)
(5)
在(4),(5)中，令，得


则

参考资料：周性伟，《实变函数》，科学出版社

[English Version of This Post]

相关日志:

• ∞-范数定义的来源
• “不可能”的证明(一)
• 用函数作画
• Think Outside the Triangle
• “不可能”的证明(二)
• 赌徒的破产
• 点分区间的有趣问题
• 有序对
• y=sin(1/x)在x=0附近的振荡
• 有重复组合数