在微分几何中，两个度量空间之间的同胚映射的是这样定义的(WIKI)：
在两个度量空间X和Y上建立的一个映射f:X->Y，如果满足以下三条：
1.f是双射
2.f是连续的
3.f的逆映射f-1也是连续的
则称f为同胚映射。
当看到这个定义时，我产生了一个疑问：第3条性质的声明有意义吗？存在满足1,2但不满足3的映射吗？模糊的说，f连续的意思不就是当X中两个元素的距离足够小的时候，Y中两个元素的距离也足够小吗？这样看来，f的连续与f-1的连续好像是对称的，因为如果上一句话满足，那么当Y中两个元素的距离也足够小的时候，X中两个元素的距离不也足够小吗？
今天大牛胡勇给我举了一个反例：
定义两个集合
X={1, 2 , 3 , … , n , …}
Y={1 , 1/2 , 1/3 , … , 1/n , …}
它们中的距离都定义为d(x,y)=|x-y|(不难验证这样定义的确实是一个距离)
定义X到Y的映射f:x -> 1/x
任意的ε > 0，取δ=1/2，则当d(m,n)=|m-n|<δ时(在X中，此时只能m=n)，都有d(f(m),f(n))=|f(m)-f(n)|=|1/m - 1/n|=0<ε，所以f是一致连续的(当然更是连续的)。
而反过来，考虑f-1，对于Y中任意一点1/m，取ε=1，对任意的δ>0，不论如何选取d(1/m,1/n)=|1/m - 1/n|<δ的1/n(在Y中)，都有d(f-1(1/m),f-1(1/n))=|m - n|>=1，所以f-1 是不连续的。
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要是函数定义在欧氏空间的某个区间上就符合直观了。
[Reply]
我来说两句：