今天上习题课的时候老师讲了一道非常有意思的题目：
设F1，F2为R²上两个互不相交的非空闭集，求R²上的连续函数f(x) ，使得

大家可以先想像一下这个函数的三维图形，形象一下说就像是山峰中的两块平地，它们的高度差为１。这个问题的难点就是要求f(x)是一个连续函数。在看解答之前，希望大家能够自己想一想。
解：大家要注意题目中的x并不是一个值，或我们通常意义上的x坐标，从x∈F₁可以看出x是R²上的一个向量，或从几何上说是一个点。首先定义d(x,y):=平面上x,y两点的距离。设S为R²上的一块区域，再定义d(x,S):=x到S的最短距离，即inf{d(x,y),y∈S}。我们来证明d(x,S)是R²上关于x的一致连续函数。
证明：d(x,S)<=d(x,z)<=d(x,y)+d(y,z)　其中z∈S
得到 d(x,S)<=d(x,y)+d(y,S)
同理 d(y,S)<=d(x,y)+d(x,S)
于是我们得到 |d(x,S)-d(y,S)|<=d(x,y)
即d(x,S)是R²上关于x的一致连续函数。
哦，对不起，刚才我漏掉了一点。我还没有证明d(x,S)的存在性，就定义了它。这是很大的错误，我现在把这个证明补上：
命题：设S为非空闭集 ， x∈R²，则必存在y∈S,使得d(x,y)=d(x,S)
证明：由于d(x,S)=inf{d(x,y),y∈S}，那么对任意的1/n,存在y_n∈S,使得d(x,S)<=d(x,y_n)<=d(x,S)+1/n，由于y_n为有界点列，故存在它的一个子列y_ni它的极限(i趋向于无穷时)设为y，因为S是闭集，故y∈S，下证d(x,y)=d(x,S)。d(x,S)<=d(x,y_ni)<=d(x,S)+1/_ni两边对i取极限，即得d(x,y)=d(x,S)
好了，说了半天还没有构造函数呢！不过这些准备工作是十分重要的。说到这，也给大家透露了一点信息，也就是我们的函数里面要用到d(*,*)之类的函数。这时你能想出这个有趣的函数是什么样子了么？(答案用灰色字隐藏在下面，用鼠标圈选即可看到)
f(x)=d(x,F1)/[d(x,F1)+d(x,F2)]
可以很容易证明它是一个连续函数。

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