对于任意一个三角形ABC，D是A到BC的垂足，过D做AC的垂线交AC于E。F是DE上任意一点。如下图：
证明：AF垂直于BE当且仅当FE/FD=BD/DC
这是1971年六月Mathematics Magazine上发布的一个题目。题目发出后，得到了许多解答。有用解析几何的，有用投影的，有用向量的等等。这些证明都比较复杂，其实有一个非常简单的初等证明，真是”think outside the box”的一个很好的例子。
证明：
过B做DE的垂线交DE于G，如上图所示。很显然三角形BDG与DAE相似。所以我们有BG/DG=DE/AE和EG/DG = CB/DB。而且AEF与EGB相似当且仅当AF垂直于BE，这是我们有EG/BG = AE/FE，所以
(BG/DG)*(EG/BG)=(DE/AE)*(AE/FE)，消去BG和AE我们得到EG/DG=DE/FE。又根据前面的EG/DG = CB/DB，得到DE/FE=CB/DB，也就等价于FE/FD=BD/DC。
很简单漂亮的证明。思维定势是我们最大的敌人。
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有关相似三角形的证明总能让我头晕脑胀，不过证明确实很漂亮，是你原创的吗？
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博主有兴趣的话，我这里有一个我最近得到的九点圆的一个推广——一类四面体的12点共球，是九点圆的一个推广。具体是对棱分别垂直的四面体，各棱中点，各棱上的垂足（相对于四面体的另两个顶点），共12点共球，比九点圆简洁的多，九点圆只是一个顶点被压入所对面后的一个退化，6个垂足退化为3个（出现了重合）
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我来说两句：