在估计函数f(x)的n次拉格朗日插值多项式近似代替f(x)所产生的误差时，我们的课本上首先假设了一个误差函数：

由于在n+1个插值节点处误差为0，故误差函数至少有n+1个零点。课本上于是设

其中为插值节点。
当初看到这里的时候觉得有点不对劲，难道一个函数有这些零点，就可以表示成如上形式吗？假如f(x)=log(x)，那么误差函数就是log(x)减去一个多项式，怎么可能展开成上述形式？ Read the rest of this entry »

范数(norm)是在向量空间上定义的一个实值函数：V->R，一般用记号||x||表示，它满足以下三个性质：
(1) ||x||≥0, ||x||=0 ‹=› x=0
(2) ||ax||=|a|•||x|| (a为数域F中的数)
(3)||x+y||≤||x||+||y|| 
对于实数p≥1，定义p-范数

1-范数又被称为“出租车范数”。这个名字很形象，指一个出租车沿着”水平”和”竖直”的街道从向量x起点开到终点所走过的路程。
2-范数又被称为“欧几里德范数”。在欧式空间里，它表示两点间的距离(向量x的模长)。所以性质(3)在欧式空间里就是我们熟知的“两点之间线段最短”
此外，定义∞-范数为：

当看到这个定义时，我们很自然的产生疑问：为什么如此定义∞-范数？它和p-范数有什么关系？
实际上，它们之间是有关系的。p-范数的定义中，令p->∞便得到∞-范数，也即

证明：令
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关于黄金分割的引入我听说过两种，一种是比较直接的定义：把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。这个比值就是黄金分割数。它等于(根号5-1)/2，约等于0.618.
另一种引入就是所谓的黄金矩形。一个矩形的两边之比是1:∮，以这个矩形的短边为边在原矩形内部做一个正方形，剩下的矩形部分两边之比还是1:∮，这样的过程可以无限进行下去。这种矩形就叫做黄金矩形。这个比值就是黄金分割数。欧几里得是这么构造黄金矩形的：

如图，先作正方形ABCD，取AC中点E，设AE=EC=x。那么BE就等于：

然后构造EF也等于这个长度。完成这个矩形CFGD，这里

∮的倒数就是黄金分割数。
今天才知道，原来黄金分割数和Fibonacci数列还有关系。 Read the rest of this entry »