在实变函数中，Levi定理，又名Levi单调收敛定理，是说非负可测函数的求极限和积分运算可以交换顺序。具体表述如下：
设和 都是可测集D上的非负可测函数，而且对几乎所有的，单调增加收敛于，则
在周性伟编著的《实变函数》一书中，上述定理的证明思想如下：由于非负可测函数的Lebesgue积分是由单调增加的非负简单函数列的积分的极限来定义的，所以对每一个，都用一列单增非负简单函数列来逼近，设为。然后，按下图所示的方式构造一个新的函数列 ：

即令

这样得到具有两个重要的性质：
(1)单调增加
(2)
在第(2)条性质中，我们先令 ，再令便可得到的极限即为，又根据第(1)条性质，的积分可以用的积分的极限来定义。
这个证明颇具启发性，它的关键在于非负简单函数列的构造。其实，的构造方法并不是唯一的，只要构造出的函数列满足上述两条性质便可。在这里，我们采用如下图所示的构造方式（是否似曾相识？还记得上篇博客中“至多可数个可数集的并是可数集”的证明方法吗？）：

证明：,设的积分由单调增加的非负简单函数列定义。现令


…

则为非负简单函数，且满足
(1)单调增加
(2)
由(2)，得
(3)

在(2),(3)中，令(则 )，得到
(4)
(5)
在(4),(5)中，令，得


则

参考资料：周性伟，《实变函数》，科学出版社

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范数(norm)是在向量空间上定义的一个实值函数：V->R，一般用记号||x||表示，它满足以下三个性质：
(1) ||x||≥0, ||x||=0 ‹=› x=0
(2) ||ax||=|a|•||x|| (a为数域F中的数)
(3)||x+y||≤||x||+||y|| 
对于实数p≥1，定义p-范数

1-范数又被称为“出租车范数”。这个名字很形象，指一个出租车沿着”水平”和”竖直”的街道从向量x起点开到终点所走过的路程。
2-范数又被称为“欧几里德范数”。在欧式空间里，它表示两点间的距离(向量x的模长)。所以性质(3)在欧式空间里就是我们熟知的“两点之间线段最短”
此外，定义∞-范数为：

当看到这个定义时，我们很自然的产生疑问：为什么如此定义∞-范数？它和p-范数有什么关系？
实际上，它们之间是有关系的。p-范数的定义中，令p->∞便得到∞-范数，也即

证明：令
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某班有30个学生，每个学生在班内都有相同个数的朋友。朋友是相互的。班里进行了一次测验，结果大家的成绩均不相同。一个学生被称为“好学生”，当且仅当他的朋友中有超过一半(不包括正好一半)的朋友成绩低于他。试问：班里最多有多少“好学生”?
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从n个元素中有重复地取r个，不计顺序，则不同的取法有多少种？
这个问题的答案被称为有重复组合数。结果很简洁，是C(n+r-1,r)。(注：这表示从n+r-1个数中取出r个数的组合数)
这个C(n+r-1,r)是怎么来的，我一开始也很费解。后来从网上找到了两个证明，豁然开朗。由于它们的证明都很漂亮，所以我引用到我的博客中。
【证明1】
我们先把原命题具体化。假设这n个元素就是1~n这n个数。 
对于每一种选出来的组合a1，a2，a3，… ，am，我们要求：a1<=a2<=a3<=…<=ar
我们的目的就是找出这样的a(i)组数
这里我们构造b1=a1，b2= a2+1，… ，b(i)= a(i)+(i-1)，… ，b(r)= a(r)+(r-1)
于是b(i)和a(i)一一对应，即所求a(i)组数对应于b(i)组数
又：b1<b2<b3<…<br 且b(i)取值于1~ n+(r-1)
亦即原命题等价于从1~ n+r-1中取得r个不重复排列数
来源：http://zhidao.baidu.com/question/16706714.html
【证明2】 Read the rest of this entry »

鸽笼原理英文是Pigeonhole Principle。但是它有很多中文名字，比如鸽巢原理，抽屉原理，鞋盒原理等等。它指的是如下一个定理：
如果n+1个物体被放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含两个或更多的物体。
我们来证明一下(这不是显然么！)。用反证法。假设每个盒子中都至多有一个物体，那么物体的总数至多是n。这与共有n+1个物体矛盾。所以定理成立。
别看这个定理很简单，用它却可以巧妙的解决很多问题，一个简单的例子就是13个人中至少有两个人的生日在同一个月份里。下面我们来考虑一些更具挑战性的例子：
1 证明给定m个整数a1,a2,…,am，存在整数k和l，0<=k<l<=m，使得a(k+!)+a(k+2)+…+a(l)能够被m整除。
证明：对于m个和 a1 , a1+a2 , a1+a2+a3 , … , a1+a2+…+am 。如果这些和当中的任意一个可以被m整除，问题便得证了。假设这m个和都不整除m，那么它们除以m的余数可能是1,2,…,m-1。由于存在m个数，而余数只有m-1种，所以必然有两个和除以m有相同的余数(鸽笼原理)。因此存在整数k和l，0<=k<l<=m，使得a1+a2+…+ak=bm+r , a1+a2+…+al=cm+r，两式相减，得到a(k+!)+a(k+2)+…+a(l)=(c-b)m，从而命题得证。
2 距离全国大学生数学建模竞赛还有11周时间。我决定每天至少做一道建模题，但为了不让自己陷入题海战略，给自己一些总结和思考的时间，我还是决定每周不能做题超过12道。证明存在连续的若干天，期间我恰好做了21道题。 Read the rest of this entry »