在估计函数f(x)的n次拉格朗日插值多项式近似代替f(x)所产生的误差时，我们的课本上首先假设了一个误差函数：
由于在n+1个插值节点处误差为0，故误差函数至少有n+1个零点。课本上于是设
其中为插值节点。
当初看到这里的时候觉得有点不对劲，难道一个函数有这些零点，就可以表示成如上形式吗？假如f(x)=log(x)，那么误差函数就是log(x)减去一个多项式，怎么可能展开成上述形式？ Read the rest of this entry »
在微分几何中，两个度量空间之间的同胚映射的是这样定义的(WIKI)：
在两个度量空间X和Y上建立的一个映射f:X->Y，如果满足以下三条：
1.f是双射
2.f是连续的
3.f的逆映射f-1也是连续的
则称f为同胚映射。
当看到这个定义时，我产生了一个疑问：第3条性质的声明有意义吗？存在满足1,2但不满足3的映射吗？模糊的说，f连续的意思不就是当X中两个元素的距离足够小的时候，Y中两个元素的距离也足够小吗？这样看来，f的连续与f-1的连续好像是对称的，因为如果上一句话满足，那么当Y中两个元素的距离也足够小的时候，X中两个元素的距离不也足够小吗？
今天大牛胡勇给我举了一个反例：
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今天我要给大家介绍一个特殊的函数：Weierstrass函数。这个函数也叫做“Weierstrass椭圆函数”。它是一个很特殊的实函数，在实数轴上处处连续但处处不可微。
其中0<a<1,b>0且b是一个奇数,并且
这个函数处处连续是很容易证明的。上式右边的函数项级数的每一项的绝对值都小于等于an,根据Weierstrass的优级数判别法(M-test)可得它一致收敛于f(x)。又由于每一项都连续，可知其极限函数f(x)连续。证明它处处不可微是很难的一件事情，起码我现在还证不出来。
可以说，Weierstrass对这个病态函数的发现在数学史上占有很重要的地位。它的出现改变了人们对于可微性和连续性传统的看法，即每一个连续函数除有限点外都是可微的(或更严格的说，在那之前，包括高斯在内的当时的一些伟大的数学家，都认为连续函数的不可导点至多是可列集)。 Read the rest of this entry »
在这篇文章里，零点定理被巧妙的应用于解决一个实际问题－方桌问题。这里又是一个例子。
证明：平面上，沿任一方向作平行直线，总存在一条直线，将给定的三角形分割成面积相等的两部分。
在平面几何中，我们的任务是如何找到这样一条直线。而在这里，我们将证明它的存在性。（在很多情况下，证明存在性是很重要的。比如说这个命题：在周长相等的封闭平面图形中，圆的面积是最大的。要证明这个命题，我们先要证明在平面中，存在这样一个封闭图形，它的面积最大。然后再证明这个图形是圆。这个命题的存在性的证明是十分困难的，它的困难程度甚至超过了证明它是圆本身。BTW,整个公理集合论的基础是建立在10个基本的公理之上的，这些公理中一大部分都是存在性公理，比如说最简单的空集公理：存在一个集合，这个集合中没有任何元素。有了这个公理，我们才可以定义空集。可以说，存在性是一切性质的前提。）
好，现在我们来证明这个命题。
设三角形ABC为已知三角形，l为已知方向，建立如图所示的平面坐标系，以S(x)表示阴影部分的面积。
证明：平面上，沿任一方向作平行直线，总存在一条直线，将给定的三角形分割成面积相等的两部分。
在平面几何中，我们的任务是如何找到这样一条直线。而在这里，我们将证明它的存在性。（在很多情况下，证明存在性是很重要的。比如说这个命题：在周长相等的封闭平面图形中，圆的面积是最大的。要证明这个命题，我们先要证明在平面中，存在这样一个封闭图形，它的面积最大。然后再证明这个图形是圆。这个命题的存在性的证明是十分困难的，它的困难程度甚至超过了证明它是圆本身。BTW,整个公理集合论的基础是建立在10个基本的公理之上的，这些公理中一大部分都是存在性公理，比如说最简单的空集公理：存在一个集合，这个集合中没有任何元素。有了这个公理，我们才可以定义空集。可以说，存在性是一切性质的前提。）
好，现在我们来证明这个命题。
设三角形ABC为已知三角形，l为已知方向，建立如图所示的平面坐标系，以S(x)表示阴影部分的面积。
下面先证明S(x)是一连续函数
事实上，对于任意的x1,x2属于[a,b]，由于|S(x1)-S(x2)|<=|OT|*|x1-x2|，可知S(x)不仅是连续的，还是一致连续的。
设三角形ABC面积为M.
对于函数f(x)=S(x)-M/2，有f(x)连续。f(a)= -M/2 , f(b)=M/2 ,由零点定理，知存在一点c属于[a,b]，使得f(c)=0，即S(c)=M/2
命题得证。
1 原函数在定义域内可导，导函数不连续
由导数极限定理可知，这种类型的导函数只能具有第二类间断点。而且是第二类间断点中的振荡间断点（如果是无穷间断点的话，原函数在这点便不可导）
原函数：
由导数极限定理可知，这种类型的导函数只能具有第二类间断点。而且是第二类间断点中的振荡间断点（如果是无穷间断点的话，原函数在这点便不可导）
原函数：
图像：
导函数：
图像：
像一些半圆连起来的函数：
它的导函数具有无穷间断点（这是因为在半圆的连接点原函数不可导）
2 一个函数在某一点可导，在这一点的任何去心邻域都不可导
y=xD(x)
这个函数在x=0处可导，导数为0，其余的点均不可导
3 一个函数在某一点导数>0，但在该点的任何邻域内无单调递增区间
这个函数在0点的导数为1/2，但在0点周围的任何邻域内都存在单调递减的区间（振荡），你写出它的导函数就可以看到这一点。这个函数的图像就像是把函数y=xsin(1/x)旋转一个角度后形成的图像，如下图：
