如果集合A的每个元素都是集合B的子集，则称A是B上的一个集族。
那么，给定一个集合S，S上的集族共有多少个呢？
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一个集合{1,2}可以看作是无序对，因为{1,2}={2,1}。有时候我们需要另外一个东西<1,2>，使得<1,2>≠<2,1>，这个东西就叫做有序对。更一般的说，有序对就是指这样一个集合，如果<x,y>=<u,v>，那么x=u && y=v。如果用集合定义有序对使它满足以上的性质呢？我们来尝试一下：
如果定义<x,y>={x,y}，这显然不行。如果定义<x,y>={x,{y}}呢？由于<{Ø},{Ø}>=<{{Ø}},Ø>，这样定义也不行。
第一个成功的定义的是1914年Norbert Wiener给出的。它定义：<x,y>={{{x},Ø},{{y}}}。这个看起来很繁琐。一个形式上比较简单，也是目前共用的定义是Kuratowski在1921年给出的：<x,y>={{x},{x,y}}。下面我们来证明这个定义的合理性，也即：<x,y>=<u,v> iff x=u && y=v
证明：充分性显然。下证必要性。假设<x,y>=<u,v>，那么{{x},{x,y}}={{u},{u,v}}。由此我们可以得出{x}∈{{u},{u,v}}和{x,y}∈{{u},{u,v}}。从第一个关系得到{x}={u}或者{x}={u,v}。类似得，从第二个关系我们可以得知{x,y}={u}或者{x,y}={u,v}。首先假设{x}={u,v}成立，那么x=u=y=v，结论成立。再假设{x}={u}。如果第二个关系中{x,y}={u}，又回到了x=u=y=v的情况。如果第二个关系中{x,y}={u,v}，那么由{x}={u}可知,{y}={v}。因为所有的情况我们都考虑了，所以结论成立。
当得到了有序对的严格定义后，有些读者也许会很自然的想到，能不能把它一般化，如此定义n个元素的有序组，即<x1,x2,…,xn>={{x1},{x1,x2},…,{x1,x2,…,xn}}。 Read the rest of this entry »
从这篇文章开始，我将给初学博弈论的朋友们介绍一下我自学的博弈论的心得。我将用通俗易懂的语言和生动是事例带你走进博弈论的世界。
博弈论又被称为对策论,是研究具有斗争或竞争性质现象的理论和方法，它既是现代数学的一个新分支，也是运筹学中的一个重要学科。我们生活的世界充满了博弈，掌握博弈论很重要，它将使我们在博弈中处于有利地位。
先说一下博弈论的历史吧，如果你对历史不感兴趣，你可以直接跳过这一段：
博弈论的思想古已有之，例如《孙子兵法》中就涉及到了很多博弈论的知识。博弈论最初主要研究象棋、桥牌、赌博中的胜负问题，人们对博弈局势的把握只停留在经验上,没有向理论化发展，正式发展成一门学科则是在20世纪初。1928年冯·诺意曼证明了博弈论的基本原理，从而宣告了博弈论的正式诞生。后来，纳什、塞尔顿、哈桑尼等的研究进一步发展了博弈论，今天博弈论已发展成一门羽翼丰富的学科。
任何博弈都是由三个部分组成的：
1 参与者的集合A。很多书中也把参与博弈的个体称为“局中人”，当然，参与博弈的可能是人，也可能是企业，国家。但是参与者不会包括动物，因为动物的智商还不够参与博弈论的资格(待会你将看到我们为什么抛弃了可爱的动物)。 Read the rest of this entry »
集合有两种表示方法，一种是列举法，比如{1,2,3}；另一种是描述法，比如{x|x>3}。描述法给我们描述集合带来了很大的方便，但是由于它本身的模糊性也带来了一些“灾难”，这些“灾难”从两种形式表现出来：
１
考虑这个集合{x|x是不能用一行文字定义出来的最小的正整数}
刚才的描述定义了一个正整数，但是，这个正整数，按照上面的定义，不能被一行文字定义出来！
２
考虑这个集合{x|x不属于x}
这个集合定义的是“所有不属于自己的集合的全体”。让A={x|x不属于x}。那么有两种情况。A属于A,或A不属于A。如果A不属于A，那么A就符合了描述的条件，于是推出A属于A；反之，如果A属于A，那么A不符合描述的条件，于是推出A不属于A。